Das isometrische Transformationen Dies sind Änderungen in der Position oder Ausrichtung einer bestimmten Figur, die ihre Form oder Größe nicht ändern. Diese Transformationen werden in drei Typen eingeteilt: Translation, Rotation und Reflexion (Isometrie). Im Allgemeinen können Sie mit geometrischen Transformationen aus einer bestimmten Figur eine neue Figur erstellen.
Eine Umwandlung in eine geometrische Figur bedeutet, dass sie sich in gewisser Weise verändert hat. das heißt, es wurde geändert. Nach dem Sinn des Originals und ähnlichem in der Ebene können geometrische Transformationen in drei Typen eingeteilt werden: isometrisch, isomorph und anamorph.
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Isometrische Transformationen treten auf, wenn die Größen der Segmente und die Winkel zwischen der ursprünglichen Figur und der transformierten Figur erhalten bleiben.
Bei dieser Art der Transformation wird weder die Form noch die Größe der Figur verändert (sie sind kongruent), sondern nur eine Änderung ihrer Position, entweder in der Ausrichtung oder in der Richtung. Auf diese Weise sind die Anfangs- und Endfiguren ähnlich und geometrisch kongruent..
Isometrie bezieht sich auf Gleichheit; Das heißt, geometrische Figuren sind isometrisch, wenn sie dieselbe Form und Größe haben.
Bei isometrischen Transformationen kann nur eine Änderung der Position in der Ebene beobachtet werden. Es tritt eine starre Bewegung auf, dank derer die Figur von einer Anfangsposition zu einer Endposition wechselt. Diese Figur wird als homolog (ähnlich) des Originals bezeichnet.
Es gibt drei Arten von Bewegungen, die eine isometrische Transformation klassifizieren: Translation, Rotation und Reflexion oder Symmetrie.
Dies sind die Isometrien, mit denen alle Punkte der Ebene in einer bestimmten Richtung und Entfernung in einer geraden Linie verschoben werden können.
Wenn eine Figur durch Translation transformiert wird, ändert sie weder ihre Ausrichtung in Bezug auf die Ausgangsposition noch verliert sie ihre internen Maße, die Maße ihrer Winkel und Seiten. Diese Art der Verschiebung wird durch drei Parameter definiert:
- Eine Richtung, die horizontal, vertikal oder schräg sein kann.
- Ein Sinn, der links, rechts, oben oder unten sein kann.
- Entfernung oder Größe, dh die Länge von der Anfangsposition bis zum Ende eines sich bewegenden Punktes.
Damit eine isometrische Transformation durch Translation erfüllt ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
- Die Figur muss immer alle ihre Abmessungen behalten, sowohl linear als auch eckig.
- Die Figur ändert ihre Position in Bezug auf die horizontale Achse nicht. Das heißt, sein Winkel ändert sich nie.
- Die Übersetzungen werden unabhängig von der Anzahl der vorgenommenen Übersetzungen immer in einer einzigen zusammengefasst..
In einer Ebene, in der der Mittelpunkt ein Punkt O mit Koordinaten (0,0) ist, wird die Translation durch einen Vektor T (a, b) definiert, der die Verschiebung des Anfangspunkts angibt. Nämlich:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Wenn zum Beispiel eine Translation T (-4, 7) auf den Koordinatenpunkt P (8, -2) angewendet wird, erhalten wir:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)
Im folgenden Bild (links) ist zu sehen, wie sich Punkt C so bewegte, dass er mit D zusammenfiel. Dies geschah in vertikaler Richtung, die Richtung war nach oben und der Abstand oder die Größe CD betrug 8 Meter. Im rechten Bild ist die Übersetzung eines Dreiecks zu sehen:
Dies sind die Isometrien, mit denen die Figur alle Punkte einer Ebene drehen kann. Jeder Punkt dreht sich nach einem Bogen, für den ein konstanter Winkel und ein fester Punkt (Drehpunkt) bestimmt wurden.
Das heißt, jede Drehung wird durch ihren Drehpunkt und ihren Drehwinkel definiert. Wenn eine Figur durch Drehung transformiert wird, behält sie das Maß ihrer Winkel und Seiten bei.
Die Drehung erfolgt in eine bestimmte Richtung. Sie ist positiv, wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn (gegen den Uhrzeigersinn) erfolgt, und negativ, wenn die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt..
Wenn ein Punkt (x, y) in Bezug auf den Ursprung gedreht wird - das heißt, sein Drehpunkt ist (0,0) - um einen Winkel von 90oder bis 360oder Die Koordinaten der Punkte sind:
In dem Fall, in dem die Drehung keinen Mittelpunkt am Ursprung hat, muss der Ursprung des Koordinatensystems auf den neuen gegebenen Ursprung übertragen werden, um die Figur mit dem Ursprung als Mittelpunkt drehen zu können..
Zum Beispiel, wenn der Punkt P (-5,2) um 90 gedreht wirdoder, um den Ursprung und in positiver Richtung werden seine neuen Koordinaten (-2,5) sein..
Sie sind jene Transformationen, die die Punkte und Figuren der Ebene invertieren. Diese Inversion kann sich auf einen Punkt oder auch auf eine Linie beziehen.
Mit anderen Worten, bei dieser Art der Transformation ist jeder Punkt der ursprünglichen Figur einem anderen Punkt (Bild) der homologen Figur so zugeordnet, dass der Punkt und sein Bild im gleichen Abstand von einer Linie liegen, die als Achse bezeichnet wird der Symmetrie..
Somit spiegelt der linke Teil der Figur den rechten Teil wider, ohne seine Form oder Abmessungen zu ändern. Symmetrie verwandelt eine Figur in eine andere gleiche, aber in die entgegengesetzte Richtung, wie im folgenden Bild zu sehen ist:
Symmetrie ist in vielen Aspekten vorhanden, beispielsweise bei einigen Pflanzen (Sonnenblumen), Tieren (Pfau) und Naturphänomenen (Schneeflocken). Der Mensch reflektiert es auf seinem Gesicht, das als ein Faktor der Schönheit angesehen wird. Es gibt zwei Arten von Reflexion oder Symmetrie:
Es ist diese Transformation, die in Bezug auf einen Punkt auftritt, an dem die Figur ihre Ausrichtung ändern kann. Jeder Punkt der Originalfigur und ihr Bild befinden sich im gleichen Abstand von einem Punkt O, der als Symmetriezentrum bezeichnet wird. Symmetrie ist von zentraler Bedeutung, wenn:
- Sowohl der Punkt als auch sein Bild und seine Mitte gehören zur selben Linie.
- Mit einer Drehung von 180oder Von der Mitte O wird eine Zahl erhalten, die dem Original entspricht.
- Die Striche der Anfangsfigur sind parallel zu den Strichen der gebildeten Figur.
- Der Sinn der Figur ändert sich nicht, sie wird immer im Uhrzeigersinn sein.
Diese Transformation erfolgt in Bezug auf die Symmetrieachse, wobei jeder Punkt der Anfangsfigur einem anderen Punkt im Bild zugeordnet ist und diese sich im gleichen Abstand von der Symmetrieachse befinden. Symmetrie ist axial, wenn:
- Das Segment, das einen Punkt mit seinem Bild verbindet, verläuft senkrecht zu seiner Symmetrieachse.
- Die Figuren ändern ihre Richtung in Bezug auf die Drehung oder im Uhrzeigersinn.
- Wenn die Figur durch eine Mittellinie (Symmetrieachse) geteilt wird, fällt eine der resultierenden Hälften vollständig mit einer anderen der Hälften zusammen.
Eine Zusammensetzung isometrischer Transformationen bezieht sich auf die sukzessive Anwendung isometrischer Transformationen auf dieselbe Figur.
Die Zusammensetzung von zwei Übersetzungen führt zu einer weiteren Übersetzung. Bei der Ausführung in der Ebene ändern sich auf der horizontalen Achse (x) nur die Koordinaten dieser Achse, während die Koordinaten der vertikalen Achse (y) gleich bleiben und umgekehrt.
Die Zusammensetzung von zwei Windungen mit derselben Mitte führt zu einer weiteren Windung, die dieselbe Mitte hat und deren Amplitude die Summe der Amplituden der beiden Windungen ist..
Wenn die Mitte der Windungen eine andere Mitte hat, ist der Schnitt der Winkelhalbierenden zweier Segmente mit ähnlichen Punkten die Mitte der Kurve.
In diesem Fall hängt die Zusammensetzung davon ab, wie sie angewendet wird:
- Wenn dieselbe Symmetrie zweimal angewendet wird, ist das Ergebnis eine Identität.
- Wenn zwei Symmetrien in Bezug auf zwei parallele Achsen angewendet werden, ist das Ergebnis eine Verschiebung, und ihre Verschiebung ist doppelt so groß wie der Abstand dieser Achsen:
- Wenn zwei Symmetrien in Bezug auf zwei Achsen angewendet werden, die sich am Punkt O (Mitte) schneiden, wird eine Drehung mit der Mitte bei O erhalten und ihr Winkel ist doppelt so groß wie der Winkel, den die Achsen bilden:
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