Komplexe Zahleneigenschaften, Beispiele, Operationen

Das komplexe Zahlen sind die numerische Menge, die die reellen Zahlen und alle Wurzeln der Polynome enthält, einschließlich der geraden Wurzeln der negativen Zahlen. Diese Wurzeln existieren nicht in der Menge der reellen Zahlen, aber in komplexen Zahlen gibt es die Lösung.

Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Teil, der als „imaginär“ bezeichnet wird. Der Realteil heißt zu, zum Beispiel und der Imaginärteil ib, mit zu Y. b reelle Zahlen und "ich" mögen imaginäre Einheit. Auf diese Weise hat die komplexe Zahl die Form:

z = a + ib

Beispiele für komplexe Zahlen sind 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Aber bevor wir mit ihnen arbeiten, wollen wir sehen, woher die imaginäre Einheit stammt ich, unter Berücksichtigung dieser quadratischen Gleichung:

x^zwei - 10x + 34 = 0

In dem a = 1, b = -10 und c = 34.

Wenn wir die Auflösungsformel anwenden, um die Lösung zu bestimmen, finden wir Folgendes:

Wie bestimme ich den Wert von √-36? Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat zu einer negativen Größe führt. Dann wird geschlossen, dass diese Gleichung keine wirklichen Lösungen hat.

Wir können dies jedoch schreiben:

√-36 = √-6^zwei = √6^zwei (-1) = 6√-1

Wenn wir einen bestimmten Wert definieren x so dass:

x^zwei = -1

Dann:

x = ± √-1

Und die obige Gleichung hätte eine Lösung. Daher wurde die imaginäre Einheit definiert als:

i = √-1

Und so:

√-36 = 6i

Viele Mathematiker der Antike arbeiteten an der Lösung ähnlicher Probleme, insbesondere der Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) und Raffaele Bombelli (1526-1572)..

Jahre später nannte René Descartes (1596-1650) Größen wie √-36 im Beispiel „imaginär“. Aus diesem Grund ist √-1 als bekannt imaginäre Einheit.

Artikelverzeichnis

• 1 Eigenschaften komplexer Zahlen
• 2 Darstellung komplexer Zahlen
  • 2.1 - Binomialform
  • 2.2 - Polare Form
• 3 Beispiele für komplexe Zahlen
• 4 Wofür sind sie??
• 5 Operationen mit komplexen Zahlen
  • 5.1 - Beispiel 1
  • 5.2 - Beispiel 2
• 6 Anwendung
• 7 Referenzen

Eigenschaften komplexer Zahlen

-Die Menge komplexer Zahlen wird mit C bezeichnet und enthält die reellen Zahlen R und die imaginären Zahlen Im. Zahlensätze werden in einem Venn-Diagramm dargestellt, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

-Jede komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

-Wenn der Imaginärteil einer komplexen Zahl 0 ist, ist es eine reine reelle Zahl.

-Wenn der Realteil einer komplexen Zahl 0 ist, ist die Zahl rein imaginär.

-Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihr jeweiliger Realteil und Imaginärteil gleich sind.

-Bei komplexen Zahlen werden die bekannten Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Produkt und Verbesserung ausgeführt, was zu einer weiteren komplexen Zahl führt.

Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Hier sind die wichtigsten:

- Binomialform

Es ist die am Anfang angegebene Form, wo z ist die komplexe Zahl, zu Es ist der wahre Teil, b ist der Imaginärteil e ich ist die imaginäre Einheit:

z = a + ib

Oder auch:

z = x + iy

Eine Möglichkeit, die komplexe Zahl grafisch darzustellen, besteht in der in dieser Abbildung gezeigten komplexen Ebene. Die imaginäre Achse Im ist vertikal, während die reale Achse horizontal ist und als Re bezeichnet wird.

Die komplexe Zahl z wird auf dieser Ebene als Koordinatenpunkt dargestellt (x, y) oder (a, b), wie es mit den Punkten der realen Ebene gemacht wird.

Der Abstand vom Ursprung zum Punkt z ist der Modul der komplexen Zahl, bezeichnet als r, während φ der Winkel ist, der sich bildet r mit der realen Achse.

Diese Darstellung ist eng mit der von Vektoren in der realen Ebene verwandt. Der Wert von r entspricht Modul der komplexen Zahl.

- Polare Form

Die polare Form besteht darin, die komplexe Zahl durch Angabe der Werte von auszudrücken r und von φ. Wenn wir uns die Abbildung ansehen, ist der Wert von r entspricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Beine sind es wert zu Y. b, Ach ja x Y. Y..

Von der Binomial- oder Binomialform können wir zur polaren Form wechseln, indem wir:

r = √x^zwei+Y.^zwei

Der Winkel φ Es ist dasjenige, das das Segment r mit der horizontalen Achse oder der imaginären Achse bildet. Es ist bekannt als Streit der komplexen Zahl. Auf diese Weise:

φ = arctg (y / x)

Das Argument hat unendliche Werte, wobei berücksichtigt wird, dass jedes Mal, wenn eine Kurve gedreht wird, die 2π Radiant wert ist, r wieder dieselbe Position einnimmt. Auf diese allgemeine Weise wird das mit Arg (z) bezeichnete Argument von z folgendermaßen ausgedrückt:

Arg (z) = φ + 2kπ

Wobei k eine ganze Zahl ist und verwendet wird, um die Anzahl der gedrehten Windungen anzuzeigen: 2, 3, 4…. Das Zeichen zeigt die Drehrichtung an, wenn es im oder gegen den Uhrzeigersinn ist.

Und wenn wir von der polaren zur binomischen Form wechseln wollen, verwenden wir die trigonometrischen Verhältnisse. Aus der vorherigen Abbildung können wir Folgendes ersehen:

x = r cos φ

y = r sin φ

Auf diese Weise ist z = r (cos φ + i sin φ)

Was so abgekürzt wird:

z = r cis φ

Beispiele für komplexe Zahlen

Die folgenden komplexen Zahlen werden in Binomialform angegeben:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Und diese in Form eines geordneten Paares:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Schließlich wird diese Gruppe in polarer oder trigonometrischer Form angegeben:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Wofür sind sie??

Die Nützlichkeit komplexer Zahlen geht über die Lösung der eingangs gezeigten quadratischen Gleichung hinaus, da sie auf dem Gebiet der Technik und Physik von wesentlicher Bedeutung sind, insbesondere in folgenden Bereichen:

-Das Studium elektromagnetischer Wellen

-Wechselstrom- und Spannungsanalyse

-Modellierung aller Arten von Signalen

-Relativitätstheorie, bei der angenommen wird, dass die Zeit eine imaginäre Größe ist.

Komplexe Zahlenoperationen

Mit komplexen Zahlen können wir alle Operationen ausführen, die mit realen ausgeführt werden. Einige sind einfacher zu tun, wenn die Zahlen in Binomialform vorliegen, z. B. Addition und Subtraktion. Stattdessen sind Multiplikation und Division einfacher, wenn sie mit der polaren Form ausgeführt werden.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

- Beispiel 1

Fügen Sie z₁ = 2 + 5i und z_zwei = -3 -8i

Lösung

Die Realteile werden getrennt von den Imaginärteilen hinzugefügt:

z₁ + z_zwei = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Beispiel 2

Multiplizieren Sie z₁ = 4 cis 45º und z_zwei = 5 cis 120º

Lösung

Es kann gezeigt werden, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen in polarer oder trigonometrischer Form gegeben ist durch:

z₁ . z_zwei = r₁.r_zwei cis (φ₁ + φ_zwei)

Demzufolge:

z₁ . z_zwei = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

App

Eine einfache Anwendung komplexer Zahlen besteht darin, alle Wurzeln einer Polynomgleichung wie der am Anfang des Artikels gezeigten zu finden.

Im Fall der Gleichung x^zwei - 10x + 34 = 0, wenn wir die Auflösungsformel anwenden, erhalten wir:

Daher sind die Lösungen:

x₁ = 5 + 3i

x_zwei = 5 - 3i

Verweise

1. Earl, R. Komplexe Zahlen. Wiederhergestellt von: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematik 1 .. Diversifiziert. CO-BO-Ausgaben.
3. Hoffmann, J. 2005. Auswahl mathematischer Themen. Monfort Veröffentlichungen.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Halle.
5. Wikipedia. Komplexe Zahlen. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org