Das Eulernummer oder E-Nummer ist eine bekannte mathematische Konstante, die neben der Zahl π und anderen wichtigen Zahlen in der Mathematik häufig in zahlreichen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Anwendungen vorkommt.
Ein wissenschaftlicher Taschenrechner gibt den folgenden Wert für die Zahl e zurück:
e = 2,718281828 ...
Es sind jedoch noch viele weitere Dezimalstellen bekannt, zum Beispiel:
e = 2.71828182845904523536 ...
Und moderne Computer haben Billionen von Dezimalstellen für die Zahl e gefunden.
Es ist eine Zahl irrational, was bedeutet, dass es unendlich viele Dezimalstellen ohne sich wiederholendes Muster hat (die Sequenz 1828 erscheint am Anfang zweimal und wiederholt sich nicht mehr).
Und es bedeutet auch, dass die Zahl e nicht als Quotient aus zwei ganzen Zahlen erhalten werden kann.
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Die Nummer und Es wurde 1683 vom Wissenschaftler Jacques Bernoulli identifiziert, als er das Problem des Zinseszinses untersuchte, aber zuvor war es indirekt in den Werken des schottischen Mathematikers John Napier aufgetaucht, der um 1618 Logarithmen erfand.
Es war jedoch Leonhard Euler im Jahr 1727, der ihm den Namen e Nummer gab und seine Eigenschaften intensiv untersuchte. Deshalb ist es auch als bekannt Eulernummer und auch als natürliche Basis für die derzeit verwendeten natürlichen Logarithmen (ein Exponent).
Die Zahl e ist wert:
e = 2.71828182845904523536 ...
Die Auslassungspunkte bedeuten, dass es unendlich viele Dezimalstellen gibt, und tatsächlich sind bei heutigen Computern Millionen von ihnen bekannt.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, e zu definieren, die wir unten beschreiben:
Eine der verschiedenen Arten, wie die Zahl e ausgedrückt wird, ist die, die der Wissenschaftler Bernoulli in seinen Arbeiten zum Zinseszins gefunden hat:
In dem musst du den Wert machen n eine sehr große Anzahl.
Mit Hilfe eines Taschenrechners lässt sich leicht überprüfen, wann n sehr groß ist, tendiert der vorherige Ausdruck zum Wert von und oben angegeben.
Sicher können wir uns fragen, wie groß es werden kann n, Versuchen wir es also mit runden Zahlen, wie zum Beispiel:
n = 1000; 10.000 oder 100.000
Im ersten Fall erhalten wir e = 2.7169239…. Im zweiten e = 2.7181459… und im dritten ist es viel näher am Wert von und: 2,7182682. Wir können bereits herausfinden, dass mit n = 1.000.000 oder mehr die Annäherung noch besser ist.
In der mathematischen Sprache das Verfahren des Machens n kommt einem sehr großen Wert immer näher, heißt es Grenze bis unendlich und wird so bezeichnet:
Zur Bezeichnung der Unendlichkeit wird das Symbol "∞" verwendet.
Es ist auch möglich, die Nummer e durch diese Operation zu definieren:
Die im Nenner angezeigten Zahlen: 1, 2, 6, 24, 120… entsprechen der Operation n!, wo:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
Und per Definition 0! = 1.
Es ist leicht zu überprüfen, dass die Anzahl umso genauer erreicht wird, je mehr Addends hinzugefügt werden und.
Lassen Sie uns einige Tests mit dem Taschenrechner durchführen und immer mehr Addends hinzufügen:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Je mehr Begriffe zur Summierung hinzugefügt werden, desto besser sieht das Ergebnis aus und.
Mathematiker entwickelten eine kompakte Notation für diese Summen mit vielen Begriffen unter Verwendung des Summationssymbols Σ:
Dieser Ausdruck wird wie folgt gelesen: "Summe von n = 0 bis unendlich 1 zwischen n Fakultät".
Die Zahl e hat eine grafische Darstellung in Bezug auf die Fläche unter dem Diagramm der Kurve:
y = 1 / x
Wenn die Werte von x zwischen 1 und e liegen, ist dieser Bereich gleich 1, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:
Einige der Eigenschaften der Zahl e sind:
-Es ist irrational, mit anderen Worten, es kann nicht einfach durch Teilen zweier ganzer Zahlen erhalten werden.
-Die Nummer und es ist auch ein transzendente Zahl, was bedeutet das und ist keine Lösung einer Polynomgleichung.
-Es ist verwandt mit vier anderen berühmten Zahlen auf dem Gebiet der Mathematik, nämlich: π, i, 1 und 0, durch die Euler-Identität:
undπi + 1 = 0
-Die Anrufe komplexe Zahlen kann ausgedrückt werden durch e.
-Es bildet die Grundlage der heutigen natürlichen oder natürlichen Logarithmen (John Napiers ursprüngliche Definition unterscheidet sich etwas).
-Es ist die einzige Zahl, bei der der natürliche Logarithmus gleich 1 ist, dh:
ln e = 1
Die Zahl e erscheint sehr häufig im Bereich der Wahrscheinlichkeit und Statistik und erscheint in verschiedenen Verteilungen, wie Normal oder Gauß, Poisson und anderen..
In der Technik ist es üblich, da die Exponentialfunktion y = e istx es ist zum Beispiel in der Mechanik und im Elektromagnetismus vorhanden. Unter den vielen Anwendungen können wir erwähnen:
-Ein Kabel oder eine Kette, die an den Enden hängt, nimmt die Form der Kurve an, die gegeben ist durch:
y = (ex + und-x) / zwei
-Ein anfänglich entladener Kondensator C, der zum Laden in Reihe mit einem Widerstand R und einer Spannungsquelle V geschaltet ist, erhält eine bestimmte Ladung Q als Funktion der Zeit t, die gegeben ist durch:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
Die Exponentialfunktion y = A.e.Bx, Mit konstantem A und B wird es verwendet, um das Zellwachstum und das Bakterienwachstum zu modellieren.
In der Kernphysik werden radioaktiver Zerfall und Altersbestimmung durch Radiokarbondatierung modelliert.
Bei der Berechnung des Zinseszinses ergibt sich natürlich die Zahl e.
Angenommen, Sie haben einen bestimmten Geldbetrag P.oder, zu einem Zinssatz von i% pro Jahr zu investieren.
Wenn Sie das Geld für 1 Jahr verlassen, haben Sie nach dieser Zeit:
P (1 Jahr) = P.oder + P.oder.i = P.oder (1+ i)
Nach einem weiteren Jahr ohne es zu berühren, haben Sie:
P (2 Jahre) = P.oder + P.oder.i + (P.oder + P.oder .i) i = P.oder +2 P.oder.i + P.oder.ichzwei = Po (1 + i)zwei
Und so weiter n Jahre:
P = P.oder (1 + i)n
Erinnern wir uns nun an eine der Definitionen von e:
Es sieht ein bisschen wie der Ausdruck für P aus, also muss es eine Beziehung geben.
Wir werden den Nominalzins verteilen ich auf n Zeiträume, auf diese Weise wird der Zinseszins i / n sein:
P = P.oder [1+ (i / n)]n
Dieser Ausdruck ähnelt ein bisschen mehr unserer Grenze, ist aber immer noch nicht genau der gleiche.
Nach einigen algebraischen Manipulationen kann jedoch gezeigt werden, dass durch diese Änderung der Variablen:
h = n / i → i = n / h
Unser Geld P wird:
P = P.oder [1+ (1 / h)]Hallo = P.oder [1+ (1 / h)]hich
Und was ist zwischen den Schlüsseln, auch wenn es mit dem Buchstaben geschrieben ist h, ist gleich dem Argument des Limits, das die Zahl e definiert, wobei nur das Limit fehlt.
Lass es uns tun h → ∞, und was sich zwischen den geschweiften Klammern befindet, wird zur Zahl und. Dies bedeutet nicht, dass wir unendlich lange warten müssen, um unser Geld abzuheben.
Wenn wir genau hinschauen, wenn wir das tun h = n / i und in der Regel zu ∞, was wir tatsächlich getan haben, ist die Verteilung des Zinssatzes in sehr, sehr kleine Zeiträume:
i = n / h
Das nennt man kontinuierliches Mischen. In einem solchen Fall lässt sich der Geldbetrag leicht wie folgt berechnen:
P = P.oder .undich
Wobei i der jährliche Zinssatz ist. Wenn Sie beispielsweise nach einem Jahr durch kontinuierliche Kapitalisierung 12 € zu 9% pro Jahr einzahlen, haben Sie:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Mit einem Gewinn von 1,13 €.
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