Das Einheitsvektoren sind solche, deren Modul, Größe oder Größe gleich dem numerischen Wert eins ist. Einheitsvektoren sind nützlich, um die Richtung anderer Nicht-Einheitsvektoren anzuzeigen.
Denken Sie daran, dass Vektoren mathematische Einheiten sind, die mathematisch physikalische Größen darstellen, die von der Richtung abhängen, wie z. B. Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung und andere..
Unabhängig von der physikalischen Größe, der sie zugeordnet sind, haben Einheitsvektoren keine Maßeinheiten und ihre Größe ist immer 1, eine reine Zahl.
Zum Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Teilchens bezeichnet, das sich mit 3 m / s in die positive Richtung der kartesischen Achse X bewegt: v = (3 m / s) ich, wobei Fettdruck verwendet wird, um Vektorgrößen zu bezeichnen. In diesem Beispiel das Modul v beträgt 3 m / s und das Modul des Einheitsvektors ich ist 1 (keine Einheiten).
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In Anbetracht dessen, wie wichtig es ist, die Ausrichtung dieser Größen zu bestimmen, um ihre Auswirkungen zu kennen, weisen Vektoren drei relevante Merkmale auf: die Größe oder das Modul, die mit der Größe des Vektors, der Richtung und dem Sinn verbunden sind. Bei der Darstellung einer Vektorgröße müssen diese Aspekte klar angegeben werden.
Nun kann ein Einheitsvektor eine beliebige Richtung und den bevorzugten Sinn haben, aber die Größe muss immer gleich 1 sein.
Einheitsvektoren werden verwendet, um auf eine bestimmte Richtung im Raum oder in der Ebene zu zeigen. Wenn wir zum Beispiel mit allen Kräften arbeiten müssen, die entlang der horizontalen Achse wirken, hilft uns ein Einheitsvektor in dieser Richtung, diese Kräfte von anderen zu unterscheiden, die in eine andere Richtung gerichtet sind..
Und um sie von Nicht-Einheitsvektoren zu unterscheiden, wird normalerweise ein gedruckter Buchstabe in gedruckten Buchstaben verwendet und ein Caret wird oben platziert, zum Beispiel:
Mathematisch der Einheitsvektor:
So können wir Folgendes feststellen:
-Das Modul des Einheitsvektors ist immer 1, es spielt keine Rolle, ob es sich um eine Kraft, Geschwindigkeit oder einen anderen Vektor handelt.
-Einheitsvektoren haben eine bestimmte Richtung sowie einen bestimmten Sinn, wie beispielsweise den Einheitsvektor in vertikaler Richtung, der eine Richtung nach oben oder unten haben kann.
-Einheitsvektoren haben einen Ursprungspunkt. Wenn dieser Punkt durch ein kartesisches Koordinatensystem dargestellt wird, fällt er mit dem Ursprung des Systems zusammen: (0,0) wenn es sich um die Ebene handelt oder (0,0,0) wenn sich der Vektor im dreidimensionalen Raum befindet.
-Ebenso können mit den Einheitsvektoren alle Operationen der Vektoraddition, -subtraktion und -multiplikation ausgeführt werden, die mittels regulärer Vektoren durchgeführt werden. Daher ist es gültig, den Einheitsvektor mit einem Skalar zu multiplizieren sowie das Punktprodukt und das Kreuzprodukt auszuführen.
-Mit einem Einheitsvektor in einer bestimmten Richtung können andere Vektoren ausgedrückt werden, die ebenfalls in dieser Richtung ausgerichtet sind..
Um einen beliebigen Vektor im Raum oder in der Ebene auszudrücken, kann ein Satz von Einheitsvektoren senkrecht zueinander verwendet werden, die eine orthonormale Basis bilden. Jede der drei Vorzugsrichtungen des Raumes hat einen eigenen Einheitsvektor.
Kehren wir zum Beispiel der Kräfte zurück, die entlang der horizontalen Achse gerichtet sind. Dies ist die x-Achse, die zwei Möglichkeiten hat: rechts und links. Angenommen, wir haben einen Einheitsvektor auf der x-Achse und sind nach rechts gerichtet, den wir auf eine der folgenden Arten bezeichnen können:
Jeder von ihnen ist gültig. Nehmen wir nun eine Kraft an F.1 mit einer Größe von 5 N entlang dieser Achse und nach rechts gerichtet könnte eine solche Kraft ausgedrückt werden als:
Wenn die Kraft entlang der x-Achse, jedoch in die entgegengesetzte Richtung, dh nach links, gerichtet wäre, könnte ein negatives Vorzeichen verwendet werden, um diesen Unterschied festzustellen..
Zum Beispiel würde eine Kraft der Größe 8 N, die sich auf der x-Achse befindet und nach links gerichtet ist, folgendermaßen aussehen:
Oder so:
Und für die Vektoren, die nicht entlang der kartesischen Achsen gerichtet sind, gibt es auch eine Möglichkeit, sie in Form der orthogonalen Einheitsvektoren durch ihre kartesischen Komponenten darzustellen.
Berechnung des Einheitsvektors in Richtung eines beliebigen Vektors v, Es gilt folgende Formel:
Wo:
Es ist das Modul oder die Größe des Vektors v, dessen Quadrat wie folgt berechnet wird:
|v|zwei = (vx)zwei + (vY.)zwei+ ((vz)zwei
Alternativ der Vektor v kann so ausgedrückt werden:
Das heißt, das Produkt seines Moduls durch den entsprechenden Einheitsvektor. Dies ist genau das, was zuvor getan wurde, als von der Kraft der Größe 5 N gesprochen wurde, die entlang der positiven x-Achse gerichtet war.
Grafisch ist das oben Genannte in diesem Bild zu sehen, wo der Vektor v ist blau und der entsprechende Einheitsvektor in seiner Richtung ist rot.
In diesem Beispiel der Vektor v es hat eine Größe, die größer als die des Einheitsvektors ist, aber die Erklärung ist gültig, auch wenn dies nicht der Fall ist. Mit anderen Worten, wir können Vektoren haben, die zum Beispiel das 0,25-fache des Einheitsvektors sind.
Wie wir zuvor gesehen haben, sind die senkrechten Einheitsvektoren ich, j Y. k Sie sind sehr nützlich, um jeden anderen Vektor in der Ebene oder im Raum darzustellen und Vektoroperationen auszuführen. In Bezug auf diese Vektoren wird ein beliebiger Vektor v dargestellt als:
v = vx ich + vY. j + vz k
Wo V.x, vY. und V.z sind die rechteckigen Komponenten des Vektors v, Dies sind Skalare. Es wird kein Fettdruck verwendet, um sie im gedruckten Text darzustellen-.
Einheitsvektoren kommen in der Physik häufig vor. Dort haben wir zum Beispiel das Coulombsche Gesetz, das die Wechselwirkung zwischen elektrischen Zweipunktladungen quantitativ beschreibt.
Es heißt, dass die Kraft F. Die Anziehung oder Abstoßung zwischen den Ladungen ist proportional zu ihrem Produkt, umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung, die sie trennt, und ist in Richtung des Einheitsvektors gerichtet, der die Ladungen verbindet.
Dieser Vektor wird normalerweise dargestellt durch:
Und Coulombs Gesetz sieht in Vektorform so aus:
Finden des Einheitsvektors in Richtung des Vektors v = 5ich + 4j -8k, in willkürlichen Einheiten angegeben.
Es gilt die oben angegebene Definition des Einheitsvektors:
Aber zuerst müssen wir den Modul des Vektors berechnen, der, da er drei Komponenten hat, bestimmt wird durch:
|v|zwei = (vx)zwei + (vY.)zwei + (vz)zwei
Verbleibend:
|v|zwei = (5)zwei + (4)zwei + (-8)zwei= 25 + 16 + 64 = 105
Daher das Modul v es ist:
|v| = √105
Der gesuchte Einheitsvektor ist einfach:
Was uns schließlich führt zu:
v = 0,488 ich + 0,390 j - 0,781 k
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