Das Dreiecke Es sind flache und geschlossene geometrische Figuren, die aus drei Seiten bestehen. Ein Dreieck wird durch drei Linien bestimmt, die zwei mal zwei schneiden und drei Winkel miteinander bilden. Die dreieckige Form voller Symbolik ist in unzähligen Objekten und als Konstruktionselement vorhanden.
Der Ursprung des Dreiecks geht in der Geschichte verloren. Aus archäologischen Beweisen ist bekannt, dass die primitive Menschheit es gut wusste, da archäologische Überreste bestätigen, dass es in Werkzeugen und Waffen verwendet wurde.
Es ist auch klar, dass die alten Ägypter solide Kenntnisse der Geometrie und insbesondere der dreieckigen Form hatten. Sie spiegelten sich in den architektonischen Elementen seiner monumentalen Gebäude wider.
Im Rhind-Papyrus finden sich Formeln zur Berechnung von Flächen von Dreiecken und Trapezoiden sowie einige Volumina und andere Konzepte der rudimentären Trigonometrie.
Es ist bekannt, dass die Babylonier in der Lage waren, die Fläche des Dreiecks und anderer geometrischer Figuren zu berechnen, die sie für praktische Zwecke wie Landteilungen verwendeten. Sie kannten sich auch mit vielen Eigenschaften von Dreiecken aus.
Es waren jedoch die alten Griechen, die viele der heute vorherrschenden geometrischen Konzepte systematisierten, obwohl ein Großteil dieses Wissens nicht exklusiv war, da es sicherlich mit diesen anderen alten Zivilisationen geteilt wurde..
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Die Elemente eines Dreiecks sind in der folgenden Abbildung angegeben. Es gibt drei: Eckpunkte, Seiten und Winkel.
-Eckpunkte: sind die Schnittpunkte der Linien, deren Segmente das Dreieck bestimmen. In der obigen Abbildung ist beispielsweise die Linie L.AC das Segment AC enthält, schneidet die Linie L.AB Segment AB gerade am Punkt A enthaltend.
-Seiten: Zwischen jedem Scheitelpunktpaar wird ein Liniensegment gezeichnet, das eine Seite des Dreiecks bildet. Dieses Segment kann durch die Endbuchstaben oder durch die Verwendung eines bestimmten Buchstabens gekennzeichnet werden. In dem Beispiel in 2 wird die Seite AB auch als "c" bezeichnet..
-Winkel: Zwischen jeder Seite mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt entsteht ein Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem des Dreiecks übereinstimmt. Im Allgemeinen wird der Winkel mit einem griechischen Buchstaben bezeichnet, wie es am Anfang gesagt wurde.
Um ein bestimmtes Dreieck mit einer bestimmten Form und Größe zu erstellen, müssen Sie nur einen der folgenden Datensätze verwenden:
-Alle drei Seiten, für ein Dreieck ganz offensichtlich.
-Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, und sofort wird die verbleibende Seite gezeichnet.
-Zwei (Innen-) Winkel und die Seite dazwischen. Durch die Erweiterung werden die beiden fehlenden Seiten gezeichnet und das Dreieck ist fertig.
Im Allgemeinen werden in der Dreiecksnotation die folgenden Konventionen verwendet: Scheitelpunkte werden mit lateinischen Großbuchstaben, Seiten mit lateinischen Kleinbuchstaben und Winkel mit griechischen Buchstaben angegeben (siehe Abbildung 2)..
Auf diese Weise wird das Dreieck nach seinen Eckpunkten benannt. Zum Beispiel ist das Dreieck links in Abbildung 2 das Dreieck ABC und das Dreieck rechts das Dreieck A'B'C '..
Es ist auch möglich, andere Notationen zu verwenden. Beispielsweise wird der Winkel α in Fig. 2 als BAC bezeichnet. Beachten Sie, dass der Buchstabe des Scheitelpunkts in die Mitte geht und die Buchstaben gegen den Uhrzeigersinn geschrieben sind.
In anderen Fällen wird ein Caret platziert, um den Winkel zu kennzeichnen:
α = ∠A
Es gibt verschiedene Kriterien für die Klassifizierung von Dreiecken. Am üblichsten ist es, sie nach dem Maß ihrer Seiten oder nach dem Maß ihrer Winkel zu klassifizieren. Abhängig vom Maß ihrer Seiten können die Dreiecke sein: Skalen, gleichschenklig oder gleichseitig:
-Szene: seine drei Seiten sind unterschiedlich.
-Gleichschenklig: hat zwei gleiche Seiten und eine andere Seite.
-Gleichseitig: Alle drei Seiten sind gleich.
Entsprechend dem Maß ihrer Winkel werden die Dreiecke wie folgt benannt:
-Stumpfer Winkel, wenn einer der Innenwinkel größer als 90º ist.
-Spitzer Winkel, Wenn die drei Innenwinkel des Dreiecks spitz sind, dh weniger als 90 °
-Rechteck, falls einer seiner Innenwinkel 90º beträgt. Die Seiten, die 90º bilden, werden Beine genannt und die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse..
Wenn zwei Dreiecke dieselbe Form und Größe haben, werden sie als kongruent bezeichnet. Kongruenz hängt natürlich mit Gleichheit zusammen. Warum sprechen wir in der Geometrie von "zwei kongruenten Dreiecken" anstelle von "zwei gleichen Dreiecken"??
Nun, es wird bevorzugt, den Begriff "Kongruenz" zu verwenden, um an der Wahrheit festzuhalten, da zwei Dreiecke dieselbe Form und Größe haben können, aber in der Ebene unterschiedlich ausgerichtet sind (siehe Abbildung 3). Aus geometrischer Sicht wären sie nicht mehr streng gleich.
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eines der folgenden Ereignisse eintritt:
-Alle drei Seiten messen das gleiche (wieder ist dies das offensichtlichste).
-Sie haben zwei identische Seiten und den gleichen Winkel zwischen ihnen.
-Beide haben zwei identische Innenwinkel und die Seite zwischen diesen Winkeln misst gleich.
Wie zu sehen ist, geht es darum, dass die beiden Dreiecke die notwendigen Bedingungen erfüllen, damit ihre Form und Größe beim Bau genau gleich sind..
Die Kongruenzkriterien sind sehr nützlich, da in der Praxis unzählige Teile und mechanische Teile in Serie hergestellt werden müssen, so dass ihre Maße und Formen genau gleich sind.
Ein Dreieck ähnelt einem anderen, wenn es dieselbe Form hat, auch wenn es unterschiedliche Größen hat. Um sicherzustellen, dass die Form gleich ist, müssen die Innenwinkel den gleichen Wert haben und die Seiten proportional sein..
Die Dreiecke in Abbildung 2 sind ebenso ähnlich wie die in Abbildung 6. Auf diese Weise:
∠ A = ∠ A ', ∠ B = ∠ B 'und ∠ C. = ∠ C '
In Bezug auf die Seiten gelten die folgenden Ähnlichkeitsverhältnisse:
a / a '= b / b' = c / c '
Die grundlegenden Eigenschaften von Dreiecken sind wie folgt:
-Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180º.
-Für jedes Dreieck beträgt die Summe seiner Außenwinkel 360 °.
- Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden Innenwinkel, die diesem Winkel nicht benachbart sind.
Sie werden dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben, der mehrere Theoreme im Zusammenhang mit der Geometrie entwickelt hat. Der erste von ihnen legt Folgendes fest:
Wenn mehrere parallele Linien zwei Querlinien schneiden, werden darin proportionale Segmente bestimmt.
Mit anderen Worten:
a / a '= b / b' = c / c '
Thales 'erster Satz ist auf ein Dreieck anwendbar, zum Beispiel haben wir links das blaue Dreieck ABC, das durch die roten Parallelen rechts geschnitten wird:
Das violette Dreieck AB'C 'ähnelt dem blauen Dreieck ABC, daher kann nach dem Satz von Thales Folgendes geschrieben werden:
AB '/ AC' = AB / AC
Und es stimmt mit dem überein, was zuvor im Segment der Ähnlichkeit von Dreiecken erklärt wurde. Übrigens können parallele Linien auch vertikal oder parallel zur Hypotenuse sein, und ähnliche Dreiecke werden auf die gleiche Weise erhalten.
Dieser Satz bezieht sich auch auf ein Dreieck und einen Kreis mit Mittelpunkt O, wie die unten gezeigten. In dieser Figur ist AC ein Durchmesser des Umfangs und B ist ein Punkt darauf, wobei B sich von A und B unterscheidet.
Der zweite Satz von Thales besagt:
Der Winkel zwischen den Segmenten AB und BC beträgt immer 90º, daher ist das Dreieck ABC richtig.
Dies ist einer der bekanntesten Sätze in der Geschichte. Es stammt vom griechischen Mathematiker Pythagoras von Samos (569 - 475 v. Chr.) Und ist auf ein rechtwinkliges Dreieck anwendbar. Sagt so:
Die Summe der Quadrate der Länge der Beine des rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Länge des Quadrats der Hypotenuse.
Wenn wir als Beispiel das blaue Dreieck in Abbildung 8 oder das violette Dreieck nehmen, da beide Rechtecke sind, kann Folgendes festgestellt werden:
ACzwei = ABzwei + BCzwei (blaues Dreieck)
AC 'zwei = AB 'zwei + BC 'zwei (lila Dreieck)
Die Fläche des Dreiecks ergibt sich aus dem Produkt seiner Basis zu und deine Größe h, geteilt durch 2. Und durch Trigonometrie kann diese Höhe wie folgt geschrieben werden h = b sinθ.
Es wird gesagt, dass Thales es mit seinem ersten Satz geschafft hat, die Höhe der Großen Pyramide in Ägypten, eines der 7 Weltwunder der Antike, zu messen, indem er den Schatten gemessen hat, den sie auf den Boden projiziert hat und der von einem Pfahl projiziert wurde in den Boden getrieben..
Dies ist der Überblick über das Verfahren, dem Tales folgt:
Thales nahm zu Recht an, dass die Sonnenstrahlen parallel treffen. In diesem Sinne stellte er sich das große rechtwinklige Dreieck rechts vor.
Dort ist D die Höhe der Pyramide und C der Abstand über dem Boden, gemessen von der Mitte bis zum Schatten, den die Pyramide auf den Wüstenboden wirft. Es mag mühsam sein, C zu messen, aber es ist sicherlich einfacher als die Höhe der Pyramide zu messen.
Links ist das kleine Dreieck mit den Beinen A und B, wobei A die Höhe des Pfahls ist, der vertikal in den Boden getrieben wird, und B der Schatten ist, den er wirft. Beide Längen sind messbar, ebenso wie C (C ist gleich der Länge des Schattens + der halben Länge der Pyramide).
Also, durch Ähnlichkeit von Dreiecken:
A / B = D / C.
Und die Höhe der Großen Pyramide ist: D = C. (A / B)
Fachwerke im Zivilbau sind Bauwerke aus gekreuzten, geraden, dünnen Holz- oder Metallstangen, die in vielen Gebäuden als Stütze dienen. Sie werden auch als Gitter, Traversen oder Gitter bezeichnet (Fachwerk auf Englisch).
In ihnen sind die Dreiecke immer vorhanden, da die Balken an Punkten miteinander verbunden sind, die als Knoten bezeichnet werden und fest oder artikuliert sein können..
Das als Triangulation bekannte Verfahren ermöglicht es, die Position unzugänglicher Punkte zu ermitteln, wobei andere Entfernungen bekannt sind, die leichter zu messen sind, vorausgesetzt, es wird ein Dreieck gebildet, das die gewünschte Position zwischen seinen Eckpunkten enthält..
In der folgenden Abbildung möchten wir beispielsweise wissen, wo sich das Schiff im Meer befindet, bezeichnet als B..
Zunächst wird der Abstand zwischen zwei Punkten an der Küste gemessen, die in der Abbildung A und C sind. Als nächstes müssen die Winkel α und β mit Hilfe von a bestimmt werden Theodolit, ein Gerät zur Messung vertikaler und horizontaler Winkel.
Mit all diesen Informationen wird ein Dreieck gebaut, in dessen oberem Scheitelpunkt das Schiff liegt. Es bleibt übrig, den Winkel γ unter Verwendung der Eigenschaften der Dreiecke und der Abstände AB und CB unter Verwendung der Trigonometrie zu berechnen, um die Position des Schiffes im Meer zu bestimmen.
In der Abbildung sind die Sonnenstrahlen parallel. Auf diese Weise wirft der 5 Meter hohe Baum einen 6 Meter hohen Schatten auf den Boden. Gleichzeitig beträgt der Schatten des Gebäudes 40 Meter. Finden Sie nach Thales 'erstem Satz die Höhe des Gebäudes.
Das rote Dreieck hat Seiten von 5 bzw. 6 Metern, während das blaue Dreieck die Höhe H - die Höhe des Gebäudes - und die Basis 40 Meter hat. Beide Dreiecke sind daher ähnlich:
H / 40 = 5/6 → H = 40. (5/6) m = 33,3 m
Sie müssen den horizontalen Abstand zwischen zwei Punkten kennen ZU Y. B., aber sie befinden sich auf einem sehr unebenen Boden.
Über den Mittelpunkt (P.m) dieses Landes zeichnet sich durch eine Höhe von 1,75 Metern aus. Wenn das Maßband eine Länge von 26 Metern von A bis zum Vorsprung und 27 Meter von B bis zum selben Punkt anzeigt, ermitteln Sie den Abstand AB.
Der Satz von Pythagoras wird auf eines der beiden rechtwinkligen Dreiecke in der Abbildung angewendet. Beginnend mit dem links:
Hypotenuse = c = 26 Meter
Höhe = a = 1,75 Meter
APm = (26zwei - 1,75zwei)1/2 = 25,94 m
Wenden Sie nun Pythagoras im rechten Dreieck an, diesmal c = 27 Meter, a = 1,75 Meter. Mit diesen Werten:
BPm= (27zwei - 1,75zwei)1/2 = 26,94 m
Der Abstand AB wird durch Addition der folgenden Ergebnisse ermittelt:
AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.
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