Das Steiners Theorem, auch bekannt als Satz der parallelen Achsen, ermöglicht die Bewertung des Trägheitsmoments eines ausgedehnten Körpers um eine Achse, die parallel zu einer anderen Achse verläuft und durch den Schwerpunkt des Objekts verläuft.
Es wurde vom Schweizer Mathematiker Jakob Steiner (1796-1863) entdeckt und besagt Folgendes: Lassen Sie michCM das Trägheitsmoment des Objekts in Bezug auf eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt CM und I verläuftz das Trägheitsmoment in Bezug auf eine andere Achse parallel dazu.
Bei Kenntnis des Abstands D, der beide Achsen trennt, und der Masse M des betreffenden Körpers beträgt das Trägheitsmoment in Bezug auf die unbekannte Achse:
ichz = IchCM + MDzwei
Das Trägheitsmoment gibt an, wie leicht sich ein Objekt um eine bestimmte Achse drehen kann. Es hängt nicht nur von der Masse des Körpers ab, sondern auch davon, wie er verteilt ist. Aus diesem Grund ist es auch bekannt als Rotationsträgheit, als seine Einheiten im International System Kg. mzwei.
Der Satz zeigt, dass das Trägheitsmoment ichz ist immer größer als das Trägheitsmoment ichCM in einer Menge gegeben durch M.D.zwei.
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Da sich ein Objekt um zahlreiche Achsen drehen kann und in den Tabellen im Allgemeinen nur das Trägheitsmoment in Bezug auf die durch den Schwerpunkt verlaufende Achse angegeben ist, erleichtert Steiners Theorem die Berechnung, wenn es notwendig ist, Körper um Achsen zu drehen, die dies nicht tun passen dazu.
Beispielsweise dreht sich eine Tür üblicherweise nicht um eine Achse, die durch ihren Schwerpunkt verläuft, sondern um eine seitliche Achse, an der die Scharniere haften..
Durch Kenntnis des Trägheitsmoments ist es möglich, die kinetische Energie zu berechnen, die mit der Drehung um diese Achse verbunden ist. Ja K. ist die kinetische Energie, ich das Trägheitsmoment um die betreffende Achse und ω die Winkelgeschwindigkeit ist es erfüllt, dass:
K = ½ I.ωzwei
Diese Gleichung ähnelt stark der sehr bekannten Formel für kinetische Energie für ein Massenobjekt M. sich mit Geschwindigkeit bewegen v:: K = ½ M.v.zwei. Und es ist das Moment der Trägheit oder Rotationsträgheit ich spielt bei der Rotation die gleiche Rolle wie die Masse M. in der Übersetzung.
Das Trägheitsmoment eines erweiterten Objekts ist definiert als:
I = ∫rzwei dm
Wo dm ist ein infinitesimaler Teil der Masse und r ist der Abstand zwischen dm und die Drehachse z. In Abbildung 2 kreuzt diese Achse den Schwerpunkt CM, kann jedoch beliebig sein.
Um eine andere Achse z ', Der Moment der Trägheit ist:
ichz= ∫ (r ')zwei dm
Nun nach dem durch die Vektoren gebildeten Dreieck D., r Y. r ' (siehe Abbildung 2 rechts) gibt es eine Vektorsumme:
r + r ' = D. → r ' = D. - r
Die drei Vektoren liegen auf der Ebene des Objekts, die das sein kann xy. Der Ursprung des Koordinatensystems (0,0) wird in CM gewählt, um die folgenden Berechnungen zu erleichtern.
Auf diese Weise das quadratische Modul des Vektors r ' es ist:
(r ')zwei = (D.x- rx)zwei +(D.Y. - rY.)zwei =
= D.xzwei + D.Y.zwei +rxzwei + rY.2 -2Dxrx - 2 D.Y.rY. =
= D.zwei + rzwei - 2Dxrx - 2 D.Y.rY.
Diese Entwicklung wird nun durch das Integral des Trägheitsmoments I ersetztz und auch die Definition der Dichte dm = ρ.dV wird verwendet:
Der Begriff M. D.zwei das in Steiners Theorem erscheint, kommt vom ersten Integral, das zweite ist das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse, die durch CM verläuft.
Andererseits sind das dritte und vierte Integral 0 wert, da sie per Definition die Position des CM bilden, das als Ursprung des Koordinatensystems (0,0) gewählt wurde..
Die rechteckige Tür in Abbildung 1 hat eine Masse von 23 kg, eine Breite von 1,30 und eine Höhe von 2,10 m. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Tür in Bezug auf die Achse, die durch die Scharniere verläuft, unter der Annahme, dass die Tür dünn und gleichmäßig ist.
Aus einer Tabelle der Trägheitsmomente für eine rechteckige Platte mit Masse M und Abmessungen zu Y. b, Das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse, die durch ihren Schwerpunkt verläuft, ist: I.CM = (1/12)M.((zuzwei + bzwei).
Es wird ein homogenes Gate angenommen (eine Annäherung, da das Gate in der Figur wahrscheinlich nicht so ist). In einem solchen Fall verläuft der Schwerpunkt durch seinen geometrischen Mittelpunkt. In Abbildung 3 wurde eine Achse gezeichnet, die durch den Schwerpunkt verläuft und parallel zur Achse verläuft, die durch die Scharniere verläuft.
ichCM = (1/12) x 23 kg x (1,30)zwei+2.10zwei) mzwei = 11,7 kg.mzwei
Anwendung des Steiner-Theorems für die grüne Rotationsachse:
Ich = ichCM + MDzwei = 11,7 kg.mzwei + 23 kg x 0,652 mzwei = 21,4 kg.
Finden Sie das Trägheitsmoment eines homogenen dünnen Stabes, wenn er sich um eine Achse dreht, die durch eines seiner Enden verläuft (siehe Abbildung). Ist es größer oder kleiner als das Trägheitsmoment, wenn es sich um sein Zentrum dreht? Warum?
Nach der Tabelle der Trägheitsmomente das Trägheitsmoment ichCM einer dünnen Teigstange M. und Länge L. es ist: ichCM = (1/12) MLzwei
Und Steiners Theorem besagt, dass, wenn es um eine Achse gedreht wird, die durch ein Ende D = L / 2 verläuft, es bleibt:
Ich = ichCM + MDzwei = (1/12) MLzwei + M (L / 2)zwei = (1/3) MLzwei
Es ist größer, wenn auch nicht einfach zweimal, sondern viermal größer, da sich die andere Hälfte des Stabes (in der Figur nicht schattiert) dreht und einen größeren Radius beschreibt.
Der Einfluss des Abstandes zur Rotationsachse ist nicht linear, sondern quadratisch. Eine Masse, die doppelt so groß ist wie eine andere, hat ein Trägheitsmoment proportional zu (2D)zwei = 4Dzwei.
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