Beispiele, Übungen und Anwendungen für trigonometrische Verhältnisse

Das trigonometrische Verhältnisse sind die Quotienten oder Verhältnisse, die mit dem Wert der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks hergestellt werden können. Diese Seiten sind: zwei Beine, die 90º miteinander bilden, und die Hypotenuse, die mit einem der Beine den spitzen Winkel θ bildet.

Sie können 6 Quotienten bilden. Ihre Namen und jeweiligen Abkürzungen sind:

• Busen (sen)
• Kosinus (cos)
• Tangente (tg oder tan)
• Kotangens (ctg oder cotan)
• Sekante (Sek.) und
• Cosecant (Cosec)

Alle von ihnen bezogen sich auf den Winkel θ, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Die grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse des Winkels & thgr; sind sin & thgr;, cos & thgr; und tan & thgr;, während die verbleibenden Verhältnisse in Form dieser drei ausgedrückt werden können. Aus der obigen Tabelle ist ersichtlich, dass:

• sec θ = 1 / cos θ
• cosec θ = 1 / sin θ
• cot & thgr; = 1 / tg & thgr;

Die Größe der Seiten des Dreiecks hat keinen Einfluss auf den Wert der Verhältnisse, da zwei Dreiecke, deren Winkel gleich sind, ähnliche Dreiecke sind und die jeweiligen Verhältnisse zwischen den Seiten den gleichen Wert haben.

Artikelverzeichnis

• 1 Beispiel
• 2 Gelöste Übungen
  • 2.1 - Übung 1
  • 2.2 - Übung 2
• 3 Anwendungen trigonometrischer Verhältnisse
• 4 Referenzen

Beispiel

Berechnen wir zum Beispiel die trigonometrischen Verhältnisse des Winkels θ in den folgenden Dreiecken:

Für das kleine Dreieck haben wir die drei Grundverhältnisse des Winkels θ:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

tg θ = ¾

Und nun berechnen wir die drei Grundverhältnisse von θ mit dem großen Dreieck:

sin θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

tg θ = 30/40 = ¾

Ein wichtiges Detail, das berücksichtigt werden muss, ist das Folgende: Sowohl sin & thgr; als auch cos & thgr; sind kleiner als 1, da die Beine immer weniger als die Hypotenuse messen. Tatsächlich:

sin θ = 3/5 = 0,6

cos θ = 4/5 = 0,8

Gelöste Übungen

In den folgenden Übungen werden Sie aufgefordert, das rechtwinklige Dreieck zu lösen. Dies bedeutet, dass Sie die Länge seiner drei Seiten und das Maß seiner Innenwinkel ermitteln, von denen einer immer 90 ° misst.

Der Satz von Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist sehr nützlich, wenn zwei der Seiten bekannt sind und die fehlende Seite bestimmt werden muss. Der Satz lautet wie folgt:

Hypotenuse^zwei = gegenüberliegendes Bein^zwei + benachbartes Bein^zwei

Wir können den Satz von Pythagoras mit dem kleinen Dreieck in Abbildung 2 überprüfen, dessen Beine 3 und 4 sind. Die Reihenfolge, in der die Beine genommen werden, spielt keine Rolle. Anwendung des Satzes, den wir haben:

Hypotenuse^zwei = 3^zwei + 4^zwei = 9 + 16 = 25

Daher ist die Hypotenuse:

Hypotenuse = √25 = 5

- Übung 1

Berechnen Sie die trigonometrischen Verhältnisse der Winkel in den folgenden Dreiecken:

Lösung für

Dieses Dreieck ist das gleiche wie in Abbildung 3, aber wir werden nach den trigonometrischen Verhältnissen des anderen spitzen Winkels gefragt, der mit α bezeichnet wird. Die Aussage bietet nicht den Wert der Hypotenuse, aber durch Anwendung des Satzes von Pythagoras wissen wir, dass sie 5 wert ist.

Die Verhältnisse können direkt aus der Definition berechnet werden, wobei bei der Auswahl des Beins sorgfältig vorgegangen wird das Gegenteil des Winkels α sin α zu berechnen. Wir werden sehen:

• sin α = 4/5
• cos α = 3/5
• tg α = 4/3
• Kinderbett α = ¾
• sec α = 1 / (3/5) = 5/3
• cosec α = 1 / (4/5) = 5/4

Und wie wir sehen können, wurden die Werte der trigonometrischen Verhältnisse vertauscht. In der Tat sind α und θ komplementäre Winkel, was bedeutet, dass sie sich zu 90 ° addieren. In diesem Fall ist es wahr, dass sin α = cos θ und so weiter aus den anderen Gründen.

Lösung b

Berechnen wir die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz von Pythagoras:

Hypotenuse^zwei = 20^zwei + einundzwanzig^zwei = 841

√841 = 29

Dann sind die 6 trigonometrischen Verhältnisse des Winkels β:

• sin β = 20/29
• cos β = 21/29
• tg β = 20/21
• Kinderbett β = 21/20
• sec β = 1 / (21/29) = 29/21
• cosec β = 1 / (20/29) = 20/29

- Übung 2

a) Finden Sie den Wert von x in der Abbildung.

b) Berechnen Sie den Umfang der 3 gezeigten Dreiecke.

Lösung für

In der Abbildung können wir mehrere Dreiecke identifizieren, insbesondere das rechte Dreieck links mit einem Bein von 85 und einem spitzen Winkel von 60 °.

Mit den Informationen aus diesem Dreieck können wir Seite b berechnen. Es ist nicht die von der Erklärung geforderte Maßnahme, aber die Kenntnis ihres Werts ist ein vorheriger Schritt.

Um dies zu bestimmen, ist das geeignete Verhältnis tg 60º = 85 / b, da b das Bein neben 60º ist und 85 das Gegenteil des Winkels ist. Deshalb:

b = 85 / tg 60º = 85 / √3

Sobald b bekannt ist, werden wir das große und äußere rechte Dreieck verwenden, das eine gemeinsame Seite mit dem vorherigen Dreieck hat: dasjenige, das 85 misst. Dies ist das Bein gegenüber dem 30º-Winkel..

Von dort:

Bein neben 30º = (85 / √3) + x

Jetzt können wir Folgendes vorschlagen:

85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º

Was in Klammern steht, multipliziert die tg 30º:

85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º

Anwenden der Verteilungseigenschaft der Multiplikation:

85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º

Deshalb:

x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3

Einsetzen des Wertes tg 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15

Lösung b

Umfang des kleinen Dreiecks

Lass h₁ die Hypotenuse dieses Dreiecks, die durch den Satz von Pythagoras oder durch ein trigonometrisches Verhältnis berechnet werden kann, zum Beispiel cos 60º:

cos 60 º = 85 / √3 / h₁→ h₁ = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1

Um P, den Umfang dieses Dreiecks, zu finden, fügen wir einfach die 3 Seiten hinzu:

P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2

Umfang des äußeren Dreiecks

Lass h_zwei zur Hypotenuse des äußeren Dreiecks:

sin 30º = 85 ÷ h_zwei  

h_zwei = 85 ÷ sin 30º = 170

Für dieses Dreieck ist der Umfang:

P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22

Umfang des nicht rechtwinkligen Dreiecks

Wir kennen bereits alle Seiten dieses Dreiecks:

P = x + h₁ + h_zwei = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3

Anwendungen trigonometrischer Verhältnisse

Trigonometrische Verhältnisse haben zahlreiche praktische Anwendungen, zum Beispiel können Höhen berechnet werden.

Angenommen, ein Wasserturm befindet sich 325 Fuß von einem Gebäude entfernt. Ein Beobachter an einem Fenster bemerkt, dass der Höhenwinkel des oberen Endes des Turms 39 ° beträgt, während der Depressionswinkel, mit dem die Basis des Turms betrachtet wird, 25 ° beträgt. Er fragt sich:

a) Wie hoch ist der Turm??

b) Wie hoch ist das Fenster??

Lösung für

Aus dem Bein gegenüber 39º des oberen Dreiecks erhalten wir einen Teil der Antwort:

h₁/ 325 = tg 39º → h₁ = 325. tg 39º Fuß = 263,2 Fuß

In ähnlicher Weise erhalten wir den Rest der Höhe des Turms, h genannt_zwei ausgehend vom unteren Dreieck:

h_zwei/ 325 = tg 25º → h_zwei = 325. tg 25º Fuß = 151,6 Fuß

Die Gesamthöhe des Turms beträgt h₁ + h_zwei = 263,2 + 151,6 Fuß = 414,7 Fuß.

Lösung b

Das Fenster befindet sich genau auf einer Höhe h_zwei Boden:

h_zwei = 151,6 Fuß.

Verweise

1. Carena, M. 2019. Voruniversitäres Mathematikhandbuch. Nationale Universität des Litoral.
2. Hoffman, J. Auswahl mathematischer Themen. Band 3.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Halle.
4. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematik für Calculus. 5 .. Auflage. Lernen einbinden.
5. Zill, D. 1984. Algebra und Trigonometrie. Mcgraw Hügel.