Das koplanare Punkte Sie gehören alle zur selben Ebene. Zwei Punkte sind immer koplanar, da diese Punkte eine Linie definieren, durch die unendliche Ebenen verlaufen. Dann gehören beide Punkte zu jeder der Ebenen, die durch die Linie verlaufen, und sind daher immer koplanar.
Andererseits definieren drei Punkte eine einzelne Ebene, aus der folgt, dass drei Punkte immer koplanar zu der Ebene sind, die sie bestimmen..
Mehr als drei Punkte können koplanar sein oder nicht. Zum Beispiel sind in 1 die Punkte A, B, C und D koplanar zur (Ω) -Ebene. Aber E, F und G sind nicht koplanar zu (Ω), obwohl sie koplanar zu der Ebene sind, die sie definieren.
Artikelverzeichnis
Die Gleichung einer Ebene, die durch drei bekannte Punkte A, B, C bestimmt wird, ist eine mathematische Beziehung, die garantiert, dass jeder Punkt P mit generischen Koordinaten (x, y, z), der die Gleichung erfüllt, zu dieser Ebene gehört.
Die vorherige Aussage entspricht der Aussage, dass, wenn P der Koordinaten (x, y, z) die Gleichung der Ebene erfüllt, der Punkt koplanar mit den drei Punkten A, B, C ist, die die Ebene bestimmt haben.
Um die Gleichung dieser Ebene zu finden, beginnen wir mit der Suche nach den Vektoren AB Y. AC::
AB = [Bx - Axe, By - Ay, Bz - Az]
AC = [Cx-Axe, Cy-Ay, Cz-Az]
Das Vektorprodukt AB X. AC ergibt einen Vektor senkrecht oder normal zur Ebene, der durch die Punkte A, B, C bestimmt wird.
Jeder Punkt P der Koordinaten (x, y, z) gehört zur Ebene des Vektors AP ist senkrecht zum Vektor AB X. AC, was garantiert ist, wenn:
AP • (AB X. AC) = 0
Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass das Dreifachprodukt von AP, AB Y. AC ist Null. Die obige Gleichung kann in Matrixform geschrieben werden:
Lassen Sie die Punkte A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) und D (zu, 0, 1). Welchen Wert sollte es haben zu so dass die vier Punkte koplanar sind?
Um den Wert von a zu finden, muss Punkt D Teil der durch A, B und C bestimmten Ebene sein, was garantiert ist, wenn er die Gleichung der Ebene erfüllt.
Entwicklung der Determinante, die wir haben:
a (-1-1) + 1 (-1 - 7) -1 (1 - 7) = -2a -8 + 6 = -2a - 2 = 0
Die obige Gleichung sagt uns das a = -1 damit die Gleichheit erfüllt wird. Mit anderen Worten, der einzige Weg, der Punkt D (zu, 0,1) ist koplanar mit den Punkten A, B und C ist das zu Wert -1. Andernfalls wird es nicht koplanar sein.
Eine Ebene schneidet die kartesischen Achsen X, Y, Z bei 1, 2 bzw. 3. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit den Achsen bestimmt die Punkte A, B und C. Finden Sie die Komponente Dz eines Punktes D, dessen kartesische Komponenten sind:
D (-Dz, Dz + 1, Dz)
Vorausgesetzt, D ist koplanar mit den Punkten A, B und C..
Wenn die Abschnitte einer Ebene mit den kartesischen Achsen bekannt sind, kann die Segmentform der Ebenengleichung verwendet werden:
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
Da Punkt D zur vorherigen Ebene gehören muss, muss er:
-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1
Nämlich:
-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1
Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½
Dz (-1 / 6⅙) = ½
Dz = -3
Aus dem Obigen folgt, dass Punkt D (3, -2, -3) koplanar mit Punkten A (1, 0, 0) ist; B (0, 2, 0) und C (0, 0, 3).
Bestimmen Sie, ob die Punkte A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) und D (2, 3, 1) sind koplanar.
Wir bilden die Matrix, deren Zeilen die Koordinaten von D-A, B-A und C-A sind. Dann wird die Determinante berechnet und überprüft, ob sie Null ist oder nicht.
Nach Durchführung aller Berechnungen wird der Schluss gezogen, dass sie koplanar sind.
Es gibt zwei Linien im Raum. Eine davon ist die Linie (R), deren parametrische Gleichung lautet:
(R): x = 1 + 2 & lgr ;; y = 1 - λ; z = 1
Und die andere ist die Linie (S), deren Gleichung lautet:
(S): x + 2 y = 1; z = -1
Zeigen Sie, dass (R) und (S) koplanare Linien sind, dh in derselben Ebene liegen.
Beginnen wir damit, zwei Punkte auf der Linie (R) und zwei auf der Linie (S) willkürlich zu nehmen:
Gerade (R): λ = 0; A (1, 1, 1) und λ = 1; B (3, 0, 1)
Lass es uns tun x = 0 auf der Linie (S)=> y = ½; C (0, ½, -1). Und andererseits, wenn wir es tun y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).
Das heißt, wir haben die Punkte A und B genommen, die zur Linie (R) gehören, und die Punkte C und D, die zur Linie (S) gehören. Wenn diese Punkte koplanar sind, sind auch die beiden Linien koplanar.
Jetzt wählen wir Punkt A als Drehpunkt und finden dann die Koordinaten der Vektoren AB, AC Y. ANZEIGE. Auf diese Weise erhalten Sie:
B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC= (-1, -1/2, -2)
D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => ANZEIGE= (0, -1, -2)
Der nächste Schritt besteht darin, die Determinante zu konstruieren und zu berechnen, deren erste Zeile die Koeffizienten des Vektors sind AB, Die zweite Reihe ist die von AC und die dritte Reihe die des Vektors ANZEIGE::
Da sich die Determinante als null herausstellt, können wir schließen, dass die vier Punkte koplanar sind. Zusätzlich kann festgestellt werden, dass die Linien (R) und (S) ebenfalls koplanar sind.
Die Linien (R) und (S) sind koplanar, wie in Übung 3 gezeigt. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die sie enthält.
Die Punkte A, B, C definieren diese Ebene vollständig, aber wir möchten festlegen, dass jeder Punkt X der Koordinaten (x, y, z) zu derselben gehört.
X - A: (x - 1, y - 1, z - 1) => AXT= (x-1, y-1, z-1)
B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC= (-1, -1/2, -2)
Damit X zu der durch A, B, C definierten Ebene gehört und in der die Linien (R) und (S) enthalten sind, muss die Determinante in ihrer ersten Reihe durch die Komponenten von gebildet werden AXT, im zweiten von denen von AB und im dritten von denen von AC::
Nach diesem Ergebnis gruppieren wir wie folgt:
2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0
Und sofort sehen Sie, dass es so umgeschrieben werden kann:
x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0
Daher ist x + 2y - z = 2 die Gleichung der Ebene, die die Linien (R) und (S) enthält..
Bisher hat noch niemand einen Kommentar zu diesem Artikel abgegeben.