Das trigonometrische Funktionen der reellen Variablen entsprechen einem beliebigen Winkel (ausgedrückt im Bogenmaß), einem trigonometrischen Verhältnis, das Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens, Sekanten und Cosekanten sein kann.
Auf diese Weise haben wir die sechs trigonometrischen Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cosecant, Sekant und Cotangens..
Die trigonometrischen Funktionen für Winkel zwischen 0 und 2π werden mit Hilfe des Einheitskreises mit Radius 1 definiert, dessen Mittelpunkt mit dem des Ursprungs des kartesischen Koordinatensystems übereinstimmt: der Punkt (0,0).
Wir können jeden Punkt P der Koordinaten (x, y) auf diesem Umfang lokalisieren.
Das Segment, das den Ursprung mit P verbindet, bildet zusammen mit den jeweiligen Segmenten, die die Projektionen von P auf den Koordinatenachsen verbinden, ein rechtwinkliges Dreieck, dessen trigonometrische Verhältnisse als Verhältnisse zwischen den Seiten des Dreiecks bekannt sind. A) Ja:
Und jetzt die Gründe, die die Umkehrung der vorherigen sind:
Im Einheitskreis ist die Hypotenuse eines Dreiecks gleich 1 und die Beine sind x und y wert, also:
sin θ = y
cos θ = x
Auf diese Weise erhalten die Sinus- und Cosinusfunktionen immer Werte zwischen -1 und 1, während der Rest:
tg & thgr; = y / x
cosec & thgr; = 1 / y
sec θ = 1 / x
Sie sind nicht definiert, wann x oder Y. Wert 0.
Artikelverzeichnis
Wie wir weiter unten sehen werden, sind trigonometrische Funktionen dadurch gekennzeichnet, dass sie periodisch sind. Daher sind sie nur in einem eingeschränkten Bereich bijektiv..
Beginnend mit dem trigonometrischen Kreis am Punkt P (1,0) beträgt der Winkel 0 Bogenmaß. Dann dreht sich der Radius gegen den Uhrzeigersinn und die sin x -Funktion wächst allmählich, bis sie π / 2 Bogenmaß (90º) erreicht, was ungefähr 1.571 Bogenmaß entspricht..
Dort erreicht es den Wert y = 1 und nimmt dann ab, bis es im π-Bogenmaß (180 °) Null erreicht. Später nimmt sie noch weiter ab, da der Wert negativ wird, bis er -1 erreicht, wenn der Winkel 3π / 2 Bogenmaß (270 °) beträgt..
Schließlich erhöht es sich wieder, bis es in 360 ° auf Null zurückkehrt, wo alles von vorne beginnt. Dies macht y = sin x a periodische Funktion der Periode 2π ist daher die Sinusfunktion nicht bijektiv.
Außerdem ist der Graph in Bezug auf den Punkt (0,0) symmetrisch, daher ist die Funktion ungerade.
Dann ist der Graph von y = sin x:
Der Abschnitt in Rot ist die erste Periode. Negative Winkel werden ebenfalls berücksichtigt, da sich der Radius des trigonometrischen Kreises im Uhrzeigersinn drehen kann.
Domäne der Sünde x = Alle Reals.
Bereich oder Pfad der Sünde x = [-1,1]
Am Punkt P (1,0) ist die Kosinusfunktion 1 wert und nimmt von dort ab und erreicht 0, wenn der Winkel π / 2 beträgt. Es nimmt weiter ab und nimmt negative Werte an, bis es im Winkel π -1 erreicht.
Dann beginnt es allmählich zuzunehmen, bis es in 3π / 2 0 erreicht, und kehrt zum Wert 1 zurück, wenn der Radius eine vollständige Umdrehung gemacht hat. Von dort wiederholt sich der Zyklus, da cos x periodisch und auch gerade ist (symmetrisch um die vertikale Achse).
Die Form der Cosinusfunktion ist dieselbe wie die der Sinusfunktion, außer dass sie um π / 2 zueinander verschoben sind..
Domäne von cos x = Alle Reals.
Cos x Reichweite oder Reise = [-1,1]
Die Funktionen tg x, ctg x, sec x und cosec x sind diskontinuierlich, da sie Quotienten zwischen Sinus und Cosinus oder umgekehrt sind. Da diese in einigen Winkeln 0 wert sind, machen sie die Funktion diskontinuierlich, wenn sie im Nenner erscheinen.
Und da Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind, sind auch die Funktionen tg x, ctg x, sec x, cosec x periodisch..
Für die Tangentenfunktion sind die Diskontinuitätswerte: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Dort nimmt die Funktion sehr große oder sehr kleine Werte an. Im Allgemeinen geschieht dies für alle Vielfachen von π der Form (2n + 1) π / 2, sowohl positiv als auch negativ, mit n = 0, 1, 2 ...
Deshalb:
Tg x Domain: D = x ∈ R. / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z.
Tg x Reichweite oder Reise: Alles echt.
Es ist zu beachten, dass sich die Funktion f (x) = tg x zwischen - π / 2 und + π / 2 wiederholt, daher ist ihre Periode π. Außerdem ist es bezüglich des Ursprungs symmetrisch.
Für diese Funktion treten die Diskontinuitätswerte bei 0, ± π, ± 2π… auf, dh den ganzzahligen Vielfachen von π.
Wie die Tangentenfunktion ist die Kotangensfunktion periodisch zur Periode π. Für sie ist es wahr, dass:
Ctg x Domain: D = x ∈ R. / x ≠ n π; n ∈ Z.
Ctg x Reichweite oder Reise: Alles echt.
Die sec x -Funktion hat Diskontinuitätspunkte bei ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2…, wobei cos x = 0. Sie ist auch periodisch mit der Periode π und wird auch aus dem Diagramm beobachtet, dass die Funktion niemals nimmt Werte im Intervall (-1,1)
Domain von sec x: D = x ∈ R. / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z.
Sec x Reichweite oder Reise: Alle Reals außer (-1,1)
Es ähnelt der Sekantenfunktion, obwohl es nach rechts verschoben ist, daher sind die Diskontinuitätspunkte 0, ± π, ± 2π und alle ganzzahligen Vielfachen von π. Es ist auch periodisch.
Cosec Domain X.: D = x ∈ R. / x ≠ n π; n ∈ Z.
Erntebereich oder -pfad x: Alle Reals außer (-1,1)
Ein 6 Fuß großer Mann wirft einen Schatten S, dessen Länge gegeben ist durch:
S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │
Mit S in Fuß und t die Anzahl der Stunden seit 6 Uhr morgens. Wie hoch ist der Schatten um 8 Uhr, 12 Uhr, 14 Uhr und 17:45 Uhr??
Wir müssen die Funktion für jeden der angegebenen Werte bewerten und beachten, dass sie den absoluten Wert annehmen muss, da die Länge des Schattens positiv ist:
-Um 8 Uhr sind 2 Stunden ab 6 Uhr vergangen, daher ist t = 2 und S (t) ist:
S (2) = 6 │cot (π.2 / 12) │ft = 6 │cot (π / 6) │ft = 10,39 Fuß.
-Wenn es 12 N ist, sind t = 6 Stunden vergangen, daher:
S (6) = 6 │cot (π.6 / 12) │ft = 6 │cot (π / 2) │ft = 0 Fuß. (Zu diesem Zeitpunkt fällt die Sonne senkrecht auf den Kopf der Person).
-Um 14 Uhr vergingen t = 8 Stunden:
S (8) = 6 │cot (π.8 / 12) │ft = 6 │cot (2π / 3) │ft = 3,46 Fuß.
-Wenn es 17:45 Uhr ist, sind seit 6 Uhr bereits 11,75 Stunden vergangen, also:
S (11,75) = 6 ° C (π × 11,75 / 12) Fuß = 91,54 Fuß. Zu dieser Stunde werden die Schatten länger.
Kann der Leser die Zeit berechnen, zu der der Schatten der Person ihrer Größe entspricht??
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