Das diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Sie sind eine Funktion, die jedem Element von X (S) = x1, x2,…, xi,… zuweist, wobei X eine gegebene diskrete Zufallsvariable ist und S sein Abtastraum ist, die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis auftritt. Diese als f (xi) = P (X = xi) definierte Funktion f von X (S) wird manchmal als Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion bezeichnet.
Diese Masse von Wahrscheinlichkeiten wird im Allgemeinen in Tabellenform dargestellt. Da X eine diskrete Zufallsvariable ist, hat X (S) eine endliche Anzahl von Ereignissen oder eine zählbare Unendlichkeit. Unter den häufigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben wir die Gleichverteilung, die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung.
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Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
Wenn X nur eine endliche Anzahl von Werten annimmt (zum Beispiel x1, x2,…, xn), dann ist p (xi) = 0, wenn i> ny, daher wird die unendliche Reihe von Bedingungen b eine endliche Reihe.
Diese Funktion erfüllt auch die folgenden Eigenschaften:
Sei B ein Ereignis, das der Zufallsvariablen X zugeordnet ist. Dies bedeutet, dass B in X (S) enthalten ist. Angenommen, B = xi1, xi2,…. Deshalb:
Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen mit B verbundenen Ergebnisse.
Daraus können wir schließen, dass wenn a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b) son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:
Eine Zufallsvariable X soll einer Verteilung folgen, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie an n Punkten einheitlich ist, wenn jedem Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird. Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:
Angenommen, wir haben ein Experiment, das zwei mögliche Ergebnisse hat: Es kann der Wurf einer Münze sein, deren mögliche Ergebnisse Kopf oder Zahl sind, oder die Wahl einer ganzen Zahl, deren Ergebnis eine gerade oder eine ungerade Zahl sein kann. Diese Art von Experiment ist als Bernoulli-Test bekannt.
Im Allgemeinen werden die beiden möglichen Ergebnisse als Erfolg und Misserfolg bezeichnet, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit und 1-p die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist. Wir können die Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen in n voneinander unabhängigen Bernoulli-Tests mit der folgenden Verteilung bestimmen.
Es ist die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, x Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Tests zu erzielen, deren Erfolgswahrscheinlichkeit p ist. Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:
Das folgende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der Binomialverteilung.
Die folgende Verteilung verdankt ihren Namen dem französischen Mathematiker Simeon Poisson (1781-1840), der sie als Grenze der Binomialverteilung erhielt.
Eine Zufallsvariable X soll eine Poisson-Verteilung des Parameters λ haben, wenn sie die positiven ganzzahligen Werte 0,1,2,3, ... mit folgender Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
In diesem Ausdruck ist λ die durchschnittliche Anzahl, die dem Auftreten des Ereignisses für jede Zeiteinheit entspricht, und x ist die Häufigkeit, mit der das Ereignis auftritt.
Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:
Als nächstes ein Graph, der die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der Poisson-Verteilung darstellt.
Beachten Sie, dass wir diese Verteilungen immer approximieren können, solange die Anzahl der Erfolge gering und die Anzahl der an einer Binomialverteilung durchgeführten Tests hoch ist, da die Poisson-Verteilung die Grenze der Binomialverteilung darstellt.
Der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Verteilungen besteht darin, dass, während das Binom von zwei Parametern abhängt - nämlich n und p -, das Poisson nur von λ abhängt, was manchmal als Intensität der Verteilung bezeichnet wird..
Bisher haben wir nur über Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Fälle gesprochen, in denen die verschiedenen Experimente unabhängig voneinander sind; das heißt, wenn das Ergebnis von einem nicht durch ein anderes Ergebnis beeinflusst wird.
Wenn nicht unabhängige Experimente durchgeführt werden, ist die hypergeometrische Verteilung sehr nützlich.
Sei N die Gesamtzahl der Objekte einer endlichen Menge, von denen wir k auf irgendeine Weise identifizieren können, wodurch eine Teilmenge K gebildet wird, deren Komplement durch die verbleibenden N-k Elemente gebildet wird.
Wenn wir n Objekte zufällig auswählen, hat die Zufallsvariable X, die die Anzahl der zu K gehörenden Objekte in dieser Auswahl darstellt, eine hypergeometrische Verteilung der Parameter N, n und k. Seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist:
Das folgende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Parameter der hypergeometrischen Verteilung.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Funkröhre (in einem bestimmten Gerätetyp untergebracht) länger als 500 Stunden in Betrieb ist, beträgt 0,2. Wenn 20 Röhrchen getestet werden, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k davon länger als 500 Stunden laufen, k = 0, 1,2,…, 20?
Wenn X die Anzahl der Röhren ist, die mehr als 500 Stunden arbeiten, nehmen wir an, dass X eine Binomialverteilung hat. Dann
Und so:
Für k ≥ 11 liegen die Wahrscheinlichkeiten unter 0,001
So können wir beobachten, wie die Wahrscheinlichkeit, dass k von diesen länger als 500 Stunden arbeitet, zunimmt, bis es seinen Maximalwert erreicht (mit k = 4) und dann abnimmt..
Eine Münze wird 6 Mal geworfen. Wenn das Ergebnis teuer ist, werden wir sagen, dass es ein Erfolg ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Köpfe genau auftauchen??
Für diesen Fall haben wir n = 6 und sowohl die Erfolgs- als auch die Misserfolgswahrscheinlichkeit sind p = q = 1/2
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Köpfe gegeben sind (dh k = 2),
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens vier Köpfe zu finden??
Für diesen Fall haben wir k = 4, 5 oder 6
Angenommen, 2% der in einer Fabrik hergestellten Artikel sind defekt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass eine Stichprobe von 100 Artikeln drei fehlerhafte Artikel enthält.
Für diesen Fall könnten wir die Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,02 anwenden, um folgendes zu erhalten:
Da p jedoch klein ist, verwenden wir die Poisson-Näherung mit λ = np = 2. A) Ja,
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