Das Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen berechnet wird, vorausgesetzt, sie treten unter zwei Modalitäten auf: Erfolg oder Misserfolg.
Diese Bezeichnungen (Erfolg oder Misserfolg) sind völlig willkürlich, da sie nicht unbedingt gute oder schlechte Dinge bedeuten. In diesem Artikel werden wir die mathematische Form der Binomialverteilung angeben und anschließend die Bedeutung jedes Begriffs ausführlich erläutern.
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Die Gleichung lautet wie folgt:
Mit x = 0, 1, 2, 3… .n, wobei:
- P (x) ist die Wahrscheinlichkeit, genau zu haben x Erfolge zwischen n Versuche oder Versuche.
- x ist die Variable, die das interessierende Phänomen beschreibt und der Anzahl der Erfolge entspricht.
- n die Anzahl der Versuche
- p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in 1 Versuch
- Was ist daher die Ausfallwahrscheinlichkeit in einem Versuch q = 1 - p
Das Ausrufezeichen "!" wird für die faktorielle Notation verwendet, also:
0! = 1
1! = 1
zwei! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Und so weiter.
Die Binomialverteilung ist sehr geeignet, um Situationen zu beschreiben, in denen ein Ereignis auftritt oder nicht auftritt. Wenn es auftritt, ist es ein Erfolg und wenn nicht, dann ist es ein Misserfolg. Darüber hinaus muss die Erfolgswahrscheinlichkeit immer konstant bleiben..
Es gibt Phänomene, die diesen Bedingungen entsprechen, zum Beispiel das Werfen einer Münze. In diesem Fall können wir sagen, dass "Erfolg" ein Gesicht bekommt. Die Wahrscheinlichkeit ist ½ und ändert sich nicht, egal wie oft die Münze geworfen wird..
Die Rolle eines ehrlichen Würfels ist ein weiteres gutes Beispiel. Sie kategorisiert eine bestimmte Produktion in gute und fehlerhafte Teile und erhält beim Drehen eines Roulette-Rads ein Rot anstelle eines Schwarzen..
Wir können die Eigenschaften der Binomialverteilung wie folgt zusammenfassen:
- Jedes Ereignis oder jede Beobachtung wird aus einer unendlichen Population ohne Ersatz oder aus einer endlichen Population mit Ersatz gezogen.
- Es werden nur zwei sich gegenseitig ausschließende Optionen berücksichtigt: Erfolg oder Misserfolg, wie zu Beginn erläutert.
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss bei jeder Beobachtung konstant sein.
- Das Ergebnis eines Ereignisses ist unabhängig von einem anderen Ereignis.
- Der Mittelwert der Binomialverteilung ist n.p.
- Die Standardabweichung ist:
Nehmen wir ein einfaches Ereignis, bei dem 2 Köpfe 5 erhalten werden, indem dreimal ein ehrlicher Würfel gewürfelt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 3 Würfen 2 5er-Köpfe erhalten werden??
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu erreichen, zum Beispiel:
- Die ersten beiden Rollen sind 5 und die letzte nicht.
- Der erste und der letzte sind 5, aber nicht der mittlere.
- Die letzten beiden Würfe sind 5 und der erste nicht.
Nehmen wir die erste als Beispiel beschriebene Sequenz und berechnen ihre Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf 5 Köpfe zu bekommen, beträgt 1/6 und auch beim zweiten Wurf, da es sich um unabhängige Ereignisse handelt.
Die Wahrscheinlichkeit, beim letzten Wurf einen anderen Kopf als 5 zu bekommen, beträgt 1 - 1/6 = 5/6. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sequenz herauskommt, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Was ist mit den beiden anderen Sequenzen? Sie haben die gleiche Wahrscheinlichkeit: 0,023.
Und da wir insgesamt 3 erfolgreiche Sequenzen haben, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P (2 Köpfe 5 in 3 Würfen) = Anzahl möglicher Sequenzen x Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Sequenz = 3 x 0,023 = 0,069.
Versuchen wir nun das Binomial, in dem es ausgeführt wird:
x = 2 (2 Köpfe von 5 in 3 Würfen zu bekommen ist Erfolg)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Binomialverteilungsübungen zu lösen. Wie wir gesehen haben, kann das einfachste gelöst werden, indem gezählt wird, wie viele erfolgreiche Sequenzen es gibt, und dann mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multipliziert wird.
Wenn es jedoch viele Optionen gibt, werden die Zahlen größer und es ist vorzuziehen, die Formel zu verwenden.
Und wenn die Zahlen noch höher sind, gibt es Tabellen der Binomialverteilung. Sie sind jedoch zugunsten der vielen Arten von Taschenrechnern, die die Berechnung erleichtern, veraltet..
Ein Paar hat Kinder mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,25, Typ-O-Blut zu haben. Das Paar hat insgesamt 5 Kinder. Antwort: a) Passt diese Situation zu einer Binomialverteilung? B) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 davon vom Typ O sind??
a) Die Binomialverteilung wird angepasst, da sie die in den vorherigen Abschnitten festgelegten Bedingungen erfüllt. Es gibt zwei Möglichkeiten: Blut vom Typ O ist "Erfolg", während es kein "Misserfolg" ist, und alle Beobachtungen sind unabhängig..
b) Wir haben die Binomialverteilung:
x = 2 (2 Kinder mit Blutgruppe O erhalten)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Eine Universität behauptet, dass 80% der Studenten des College-Basketballteams ihren Abschluss machen. Eine Untersuchung untersucht die akademischen Daten von 20 Studenten des Basketballteams, die sich vor einiger Zeit an der Universität eingeschrieben haben.
Von diesen 20 Studenten haben 11 ihr Studium abgeschlossen und 9 haben das Studium abgebrochen.
Wenn die Behauptung der Universität wahr ist, sollte die Anzahl der Studenten, die Basketball spielen und ihren Abschluss machen, von 20 eine Binomialverteilung mit haben n = 20 Y. p = 0,8. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 11 der 20 Spieler ihren Abschluss machen??
In der Binomialverteilung:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Die Forscher führten eine Studie durch, um festzustellen, ob es signifikante Unterschiede in den Abschlussquoten zwischen Medizinstudenten, die über spezielle Programme zugelassen wurden, und Medizinstudenten, die über regelmäßige Zulassungskriterien zugelassen wurden, gab..
Die Abschlussquote für Medizinstudenten, die im Rahmen von Sonderprogrammen zugelassen wurden, lag bei 94% (basierend auf Daten aus dem Zeitschrift der American Medical Association).
Wenn 10 der speziellen Programme zufällig ausgewählt werden, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 9 von ihnen ihren Abschluss gemacht haben.
b) Wäre es ungewöhnlich, zufällig 10 Studenten aus speziellen Programmen auszuwählen und festzustellen, dass nur 7 von ihnen ihren Abschluss gemacht haben??
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student, der durch ein spezielles Programm zugelassen wurde, seinen Abschluss macht, beträgt 94/100 = 0,94. Sind auserwählt n = 10 Studenten aus speziellen Programmen und Sie möchten herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 9 von ihnen ihren Abschluss machen.
Die folgenden Werte werden dann in der Binomialverteilung eingesetzt:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
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