Das aufeinanderfolgende Derivate sind die Ableitungen einer Funktion nach der zweiten Ableitung. Der Prozess zur Berechnung der aufeinanderfolgenden Ableitungen ist wie folgt: Wir haben eine Funktion f, die wir ableiten und so die abgeleitete Funktion f 'erhalten können. Wir können diese Ableitung von f wieder ableiten und (f ')' erhalten..
Diese neue Funktion wird als zweite Ableitung bezeichnet. alle aus der Sekunde berechneten Ableitungen sind aufeinanderfolgend; Diese, auch als höhere Ordnung bezeichnet, haben große Anwendungsmöglichkeiten, z. B. Informationen über die Darstellung des Graphen einer Funktion, den Test der zweiten Ableitung auf relative Extreme und die Bestimmung unendlicher Reihen.
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Unter Verwendung der Leibnizschen Notation haben wir, dass die Ableitung einer Funktion "y" in Bezug auf "x" dy / dx ist. Um die zweite Ableitung von "y" unter Verwendung der Leibniz-Notation auszudrücken, schreiben wir wie folgt:
Im Allgemeinen können wir aufeinanderfolgende Ableitungen wie folgt mit Leibniz 'Notation ausdrücken, wobei n die Reihenfolge der Ableitung darstellt.
Andere verwendete Notationen sind die folgenden:
Einige Beispiele, bei denen wir die verschiedenen Notationen sehen können, sind:
Erhalten Sie alle Ableitungen der Funktion f definiert durch:
Unter Verwendung der üblichen Ableitungstechniken haben wir, dass die Ableitung von f ist:
Wenn wir den Vorgang wiederholen, erhalten wir die zweite Ableitung, die dritte Ableitung und so weiter.
Beachten Sie, dass die vierte Ableitung Null und die Ableitung von Null Null ist, also haben wir:
Berechnen Sie die vierte Ableitung der folgenden Funktion:
Ableiten der gegebenen Funktion, die wir als Ergebnis haben:
Eine der Motivationen, die zur Entdeckung des Derivats führten, war die Suche nach der Definition der momentanen Geschwindigkeit. Die formale Definition lautet wie folgt:
Sei y = f (t) eine Funktion, deren Graph die Flugbahn eines Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreibt t, dann ist seine Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t gegeben durch:
Sobald die Geschwindigkeit eines Teilchens erhalten ist, können wir die momentane Beschleunigung berechnen, die wie folgt definiert ist:
Die momentane Beschleunigung eines Teilchens, dessen Weg durch y = f (t) gegeben ist, ist:
Ein Partikel bewegt sich entlang einer Linie gemäß der Positionsfunktion:
Wobei "y" in Metern und "t" in Sekunden gemessen wird.
- Zu welchem Zeitpunkt ist seine Geschwindigkeit 0?
- Zu welchem Zeitpunkt ist seine Beschleunigung 0?
Wenn wir die Positionsfunktion "y" ableiten, haben wir, dass ihre Geschwindigkeit und Beschleunigung jeweils gegeben sind durch:
Um die erste Frage zu beantworten, reicht es aus zu bestimmen, wann die Funktion v Null wird; das ist:
Analog gehen wir mit folgender Frage vor:
Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Linie gemäß der folgenden Bewegungsgleichung:
Bestimmen Sie "t, y" und "v", wenn a = 0 ist.
Zu wissen, dass Geschwindigkeit und Beschleunigung gegeben sind durch
Wir leiten ab und erhalten:
Wenn wir a = 0 machen, haben wir:
Daraus können wir schließen, dass der Wert von t, so dass a gleich Null ist, t = 1 ist.
Wenn wir dann die Positionsfunktion und die Geschwindigkeitsfunktion bei t = 1 auswerten, haben wir:
Aufeinanderfolgende Derivate können auch durch implizite Ableitung erhalten werden.
Suchen Sie unter Berücksichtigung der folgenden Ellipse „y“:
Wir haben implizit in Bezug auf x abgeleitet:
Wenn wir dann implizit in Bezug auf x neu ableiten, erhalten wir:
Endlich haben wir:
Eine andere Verwendung, die wir den Ableitungen zweiter Ordnung geben können, ist die Berechnung der relativen Extreme einer Funktion.
Das Kriterium der ersten Ableitung für lokale Extreme sagt uns, dass, wenn wir eine stetige Funktion f in einem Intervall (a, b) haben und es ein c gibt, das zu diesem Intervall gehört, so dass f 'in c verschwindet (das heißt, dass c ist ein kritischer Punkt), kann einer von drei Fällen auftreten:
- Wenn f '(x)> 0 für jedes x ist, das zu (a, c) und f' (x) gehört<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
- Wenn f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 für x, das zu (c, b) gehört, dann ist f (c) ein lokales Minimum.
- Wenn f '(x) in (a, c) und in (c, b) das gleiche Vorzeichen hat, impliziert dies, dass f (c) kein lokales Extrem ist.
Anhand des Kriteriums der zweiten Ableitung können wir erkennen, ob eine kritische Zahl einer Funktion ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum ist, ohne das Vorzeichen der Funktion in den oben genannten Intervallen sehen zu müssen..
Das zweite Driftkriterium sagt uns, dass wenn f '(c) = 0 ist und dass f "(x) in (a, b) stetig ist, es passiert, dass wenn f" (c)> 0 ist, f (c) lokal ist Minimum und wenn f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.
Wenn f "(c) = 0 ist, können wir nichts schließen.
Gegeben ist die Funktion f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4xzwei, Finden Sie die relativen Maxima und Minima von f, indem Sie das Kriterium der zweiten Ableitung anwenden.
Zuerst berechnen wir f '(x) und f "(x) und wir haben:
f '(x) = 4x3 + 4xzwei - 8x
f (x) = 12xzwei + 8x - 8
Nun ist f '(x) = 0 genau dann und nur dann, wenn 4x (x + 2) (x - 1) = 0 ist, und dies tritt auf, wenn x = 0, x = 1 oder x = - 2.
Um festzustellen, ob die erhaltenen kritischen Zahlen relative Extreme sind, reicht es aus, bei f "zu bewerten und somit sein Vorzeichen zu beobachten.
f "(0) = - 8, also ist f (0) ein lokales Maximum.
f "(1) = 12, also ist f (1) ein lokales Minimum.
f "(- 2) = 24, also ist f (- 2) ein lokales Minimum.
Sei f eine wie folgt definierte Funktion:
Diese Funktion hat einen Konvergenzradius R> 0 und Ableitungen aller Ordnungen in (-R, R). Die aufeinanderfolgenden Ableitungen von f geben uns:
Wenn wir x = 0 nehmen, können wir die Werte von c erhaltenn basierend auf seinen Derivaten wie folgt:
Wenn wir n = 0 als Funktion f nehmen (dh f ^ 0 = f), können wir die Funktion wie folgt umschreiben:
Betrachten wir nun die Funktion als eine Reihe von Potenzen bei x = a:
Wenn wir eine Analyse analog zur vorherigen durchführen, hätten wir die Möglichkeit, die Funktion f wie folgt zu schreiben:
Diese Reihen sind als Taylor-Reihen von f bis a bekannt. Wenn a = 0 ist, haben wir den speziellen Fall, der als Maclaurin-Reihe bezeichnet wird. Diese Art von Reihen ist insbesondere in der numerischen Analyse von großer mathematischer Bedeutung, da wir dank dieser Funktionen in Computern wie zx , sin (x) und cos (x).
Holen Sie sich die Maclaurin-Serie für ex.
Beachten Sie, dass wenn f (x) = ex, dann f(n)(x) = ex und f(n)(0) = 1, Ihre Maclaurin-Serie lautet also:
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