Das augenblickliche Geschwindigkeit es ist definiert als die augenblickliche Änderung der zeitlichen Verschiebung. Es ist ein Konzept, das dem Studium der Bewegung große Präzision verleiht. Und es ist ein Fortschritt in Bezug auf die Durchschnittsgeschwindigkeit, deren Informationen sehr allgemein sind.
Um die momentane Geschwindigkeit zu erhalten, betrachten wir ein möglichst kleines Zeitintervall. Die Differentialrechnung ist das perfekte Werkzeug, um diese Idee mathematisch auszudrücken.
Ausgangspunkt ist die Durchschnittsgeschwindigkeit:
Diese Grenze wird als Derivat bezeichnet. In der Differentialrechnung haben wir:
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Immer wenn die Bewegung auf eine gerade Linie beschränkt ist, kann auf die Vektornotation verzichtet werden.
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Die folgende Abbildung zeigt die geometrische Interpretation des abgeleiteten Konzepts: Es ist die Steigung der Linie Tangente zur Kurve x (t) vs. t an jedem Punkt.
Sie können sich vorstellen, wie Sie die Grenze erhalten, wenn Punkt Q nach und nach an Punkt P herangeführt wird. Es wird eine Zeit kommen, in der beide Punkte so nahe beieinander liegen, dass Sie nicht in der Lage sind, voneinander zu unterscheiden..
Die Linie, die sie verbindet, wird dann von sekant (Linie, die sich an zwei Punkten schneidet) zu tangential (Linie, die die Kurve nur an einem Punkt berührt). Um die momentane Geschwindigkeit eines sich bewegenden Teilchens zu ermitteln, sollten wir daher Folgendes haben:
Ach ja:
-Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve bei P ist 0. Eine Steigung von Null bedeutet, dass das Mobiltelefon stationär ist und dass seine Geschwindigkeit natürlich 0 ist.
-Die Steigung der Linie, die die Kurve bei P tangiert, ist größer als 0. Die Geschwindigkeit ist positiv. In der obigen Grafik bedeutet dies, dass sich das Mobiltelefon von O entfernt.
-Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve bei P ist kleiner als 0. Die Geschwindigkeit wäre negativ. In der obigen Grafik gibt es keine solchen Punkte, aber in diesem Fall würde sich das Teilchen O nähern.
-Die Steigung der Linie, die die Kurve tangiert, ist bei P und allen anderen Punkten konstant. In diesem Fall ist der Graph eine gerade Linie und das Handy hat gleichmäßige Linienbewegung MRU (seine Geschwindigkeit ist konstant).
Im Allgemeinen ist die Funktion v (t) es ist auch eine Funktion der Zeit, die wiederum eine Ableitung haben kann. Was wäre, wenn es nicht möglich wäre, die Ableitungen der Funktionen zu finden? x (t) Y. v (t)?
Im Falle von x (t) es könnte sein, dass die Steigung - die momentane Geschwindigkeit - das Vorzeichen abrupt ändert. Oder dass es sofort von Null auf einen anderen Wert gehen würde.
Wenn ja, die Grafik x (t) es würde Punkte oder Ecken an den Stellen plötzlicher Änderungen darstellen. Ganz anders als im vorherigen Bild, in dem die Kurve dargestellt ist x (t) ist eine glatte Kurve ohne Punkte, Ecken, Diskontinuitäten oder abrupte Änderungen.
Die Wahrheit ist, dass für echte Handys die glatten Kurven diejenigen sind, die das Verhalten des Objekts am besten darstellen.
Die Bewegung ist im Allgemeinen ziemlich komplex. Die Handys können für eine Weile angehalten werden, beschleunigen, um aus der Ruhe zu kommen, um eine Geschwindigkeit zu erreichen, und sich vom Startpunkt wegbewegen, die Geschwindigkeit für eine Weile beibehalten und dann bremsen, um wieder anzuhalten und so weiter..
Wieder können sie wieder beginnen und in die gleiche Richtung weiterfahren. Oder betätigen Sie den Rückwärtsgang und kehren Sie zurück. Dies wird als abwechslungsreiche Bewegung in einer Dimension bezeichnet..
Hier einige Beispiele zur Berechnung der momentanen Geschwindigkeit verdeutlichen die Verwendung der angegebenen Definitionen:
Ein Teilchen bewegt sich entlang einer geraden Linie mit dem folgenden Bewegungsgesetz:
x (t) = -t3 + 2 tzwei + 6 t - 10
Alle Einheiten befinden sich im internationalen System. Finden:
a) Die Position des Partikels bei t = 3 Sekunden.
b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall zwischen t = 0 s und t = 3 s.
c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall zwischen t = 0 s und t = 3 s.
d) Die momentane Geschwindigkeit des Partikels aus der vorherigen Frage bei t = 1 s.
a) Um die Position des Partikels zu ermitteln, wird das Bewegungsgesetz (Positionsfunktion) bei t = 3 ausgewertet:
x (3) = (-4/3) .33 + 2. 3zwei + 6,3 - 10 m = -10 m
Es ist kein Problem, dass die Position negativ ist. Das Vorzeichen (-) zeigt an, dass sich das Teilchen links vom Ursprung O befindet.
b) Bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit werden die End- und Anfangspositionen des Partikels zu den angegebenen Zeiten benötigt: x (3) und x (0). Die Position bei t = 3 ist x (3) und ist aus dem vorherigen Ergebnis bekannt. Die Position bei t = 0 Sekunden ist x (0) = -10 m.
Da die Endposition die gleiche ist wie die Anfangsposition, wird sofort geschlossen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit 0 ist.
c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der benötigten Zeit. Der Abstand ist nun das Modul oder die Größe der Verschiebung, daher:
Abstand = | x2 - x1 | = | -10 - (-10) | m = 20 m
Beachten Sie, dass die zurückgelegte Strecke immer positiv ist.
vm = 20 m / 3 s = 6,7 m / s
d) Hier ist es notwendig, die erste Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit zu finden. Dann wird es für t = 1 Sekunde ausgewertet.
x '(t) = -4 tzwei + 4 t + 6
x '(1) = -4,1zwei + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s
Unten sehen Sie die grafische Darstellung der Position eines Mobiltelefons als Funktion der Zeit. Finden Sie die momentane Geschwindigkeit bei t = 2 Sekunden.
Zeichnen Sie die Tangentenlinie bei t = 2 Sekunden zur Kurve und berechnen Sie dann ihre Steigung, indem Sie zwei beliebige Punkte auf der Linie nehmen.
In diesem Beispiel nehmen wir zwei Punkte, die leicht zu visualisieren sind, deren Koordinaten (2 s, 10 m) und der Schnitt mit der vertikalen Achse (0 s, 7 m) sind:
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