Das spitze Dreiecke sind diejenigen, deren drei Innenwinkel spitze Winkel sind; Das heißt, das Maß für jeden dieser Winkel beträgt weniger als 90 ° Grad. Da wir keinen rechten Winkel haben, gilt der Satz von Pythagoras nicht für diese geometrische Figur.
Wenn wir also Informationen über eine seiner Seiten oder Winkel haben möchten, müssen andere Theoreme verwendet werden, die uns den Zugriff auf diese Daten ermöglichen. Diejenigen, die wir verwenden können, sind der Sinussatz und der Kosinussatz.
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Unter den Merkmalen dieser geometrischen Figur können wir diejenigen hervorheben, die durch die einfache Tatsache gegeben sind, ein Dreieck zu sein. Unter diesen haben wir:
- Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten und drei Winkeln.
- Die Summe seiner drei Innenwinkel beträgt 180 °.
- Die Summe von zwei seiner Seiten ist immer größer als die dritte.
Schauen wir uns als Beispiel das folgende Dreieck ABC an. Im Allgemeinen identifizieren wir seine Seiten mit einem Kleinbuchstaben und seine Winkel mit einem Großbuchstaben, so dass eine Seite und ihr entgegengesetzter Winkel den gleichen Buchstaben haben.
Aus den bereits gegebenen Eigenschaften wissen wir, dass:
A + B + C = 180 °
a + b> c, a + c> b und b + c> a
Das Hauptmerkmal, das diese Art von Dreieck vom Rest unterscheidet, ist, dass, wie bereits erwähnt, seine Innenwinkel spitz sind; Das heißt, das Maß für jeden seiner Winkel beträgt weniger als 90 °.
Akute Dreiecke sind zusammen mit stumpfen Dreiecken (solche, bei denen einer ihrer Winkel ein Maß von mehr als 90 ° hat) Teil der Menge der schrägen Dreiecke. Dieses Set besteht aus Dreiecken, die nicht rechtwinklig sind.
Da die schrägen Dreiecke Teil sind, müssen wir in der Lage sein, Probleme mit akuten Dreiecken zu lösen. Wir müssen den Sinussatz und den Kosinussatz verwenden.
Der Sinussatz sagt uns, dass das Verhältnis einer Seite zum Sinus ihres entgegengesetzten Winkels gleich dem doppelten Radius des Kreises ist, der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks gebildet wird. Nämlich:
2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)
Andererseits gibt uns der Kosinussatz diese drei Gleichungen für jedes Dreieck ABC:
zuzwei= bzwei + czwei -2bc * cos (A)
bzwei= azwei + czwei -2ac * cos (B)
czwei= azwei + bzwei -2ab * cos (C)
Diese Sätze werden auch als Sinusgesetz bzw. Kosinusgesetz bezeichnet..
Ein weiteres Merkmal, das wir für die spitzen Dreiecke angeben können, ist, dass zwei davon gleich sind, wenn sie eines der folgenden Kriterien erfüllen:
- Wenn sie alle drei gleichen Seiten haben.
- Wenn sie eine Seite und zwei gleiche Winkel zueinander haben.
- Wenn sie zwei gleiche Seiten und einen Winkel haben.
Wir können spitze Dreiecke anhand ihrer Seiten klassifizieren. Dies könnten sein:
Sie sind die spitzen Dreiecke, bei denen alle Seiten gleich sind und daher alle Innenwinkel den gleichen Wert haben, nämlich A = B = C = 60 ° Grad.
Nehmen wir als Beispiel das folgende Dreieck, dessen Seiten a, b und c den Wert 4 haben.
Diese Dreiecke haben zusätzlich zu ihren spitzen Innenwinkeln die Eigenschaft, dass zwei ihrer gleichen Seiten und das dritte, das im Allgemeinen als Basis genommen wird, unterschiedlich sind.
Ein Beispiel für diese Art von Dreieck kann eines sein, dessen Basis 3 ist und dessen andere zwei Seiten einen Wert von 5 haben. Bei diesen Messungen hätte es die entgegengesetzten Winkel zu den gleichen Seiten mit dem Wert von 72,55 ° und dem entgegengesetzten Winkel von Die Basis wäre 34,9 °.
Dies sind die Dreiecke, die alle zwei mal zwei unterschiedliche Seiten haben. Daher unterscheiden sich alle Winkel nicht nur von weniger als 90 °, sondern auch von zwei bis zwei.
Das Dreieck DEF (dessen Maße d = 4, e = 5 und f = 6 sind und dessen Winkel D = 41,41 °, E = 55,79 ° und F = 82,8 ° sind) ist ein gutes Beispiel für eine spitze Dreiecksskala.
Wie bereits erwähnt, müssen zur Lösung von Problemen mit spitzen Dreiecken die Sinus- und Cosinussätze verwendet werden.
Bei einem Dreieck ABC mit Winkeln A = 30 °, B = 70 ° und Seite a = 5 cm wollen wir den Wert des Winkels C und der Seiten b und c kennen.
Als erstes verwenden wir die Tatsache, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 ° beträgt, um den Wert des Winkels C zu erhalten.
180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C.
Wir löschen C und wir bleiben mit:
C = 180 ° - 100 ° = 80 °
Da wir die drei Winkel und eine Seite bereits kennen, können wir den Sinussatz verwenden, um den Wert der verbleibenden Seiten zu bestimmen. Nach dem Satz haben wir:
a / sin (A) = b / sin (B) und a / sin (A) = c / (sin (C)
Wir isolieren b von der Gleichung und es bleibt uns Folgendes übrig:
b = (a · sin (B)) / sin (A) ≤ (5 · 0,940) / (0,5) ≤ 9,4
Jetzt müssen wir nur noch den Wert von c berechnen. Wir gehen genauso vor wie im vorherigen Fall:
c = (a · sin (C)) / sin (A) ≤ (5 · 0,984) / (0,5) ≤ 9,84
Somit erhalten wir alle Daten des Dreiecks. Wie wir sehen können, fällt dieses Dreieck in die Kategorie des akuten Skalenendreiecks.
Bei einem Dreieck DEF mit Seiten d = 4 cm, e = 5 cm und f = 6 cm wollen wir den Wert der Winkel des Dreiecks wissen.
Für diesen Fall verwenden wir das Kosinusgesetz, das uns Folgendes sagt:
dzwei= ezwei + F.zwei - 2efcos (D)
Aus dieser Gleichung können wir nach cos (D) lösen, was uns als Ergebnis ergibt:
Cos (D) = ((4)zwei - (5)zwei -(6)zwei) / (- 2 · 5 · 6) = 0,75
Wir haben also D≈ 41,41 °
Mit dem Satz von senom haben wir nun die folgende Gleichung:
d / (sin (D) = e / (sin (E))
Wenn wir nach Sünde (E) suchen, haben wir:
sin (E) = e · sin (D) / d = (5 · 0,66) / 4 ≤ 0,827
Wir haben also E≈55.79 °
Wenn wir schließlich annehmen, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 ° beträgt, haben wir F≈82.8 °.
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