Das Fourier-Transformation ist eine Methode zur analytischen Angemessenheit, die sich an integrierbaren Funktionen orientiert und zur Familie von t gehörtganzheitlich transformiert. Es besteht aus einer Neudefinition von Funktionen F. (t) in Bezug auf Cos (t) und Sen (t).
Die trigonometrischen Identitäten dieser Funktionen dienen zusammen mit ihren Ableitungs- und Antiderivierungseigenschaften dazu, die Fourier-Transformation durch die folgende komplexe Funktion zu definieren:
Was wahr ist, solange der Ausdruck Sinn macht, dh wenn das falsche Integral konvergent ist. Algebraisch wird die Fourier-Transformation als linearer Homöomorphismus bezeichnet.
Jede Funktion, die mit einer Fourier-Transformation bearbeitet werden kann, muss außerhalb eines definierten Parameters null darstellen.
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Die Fourier-Transformation erfüllt die folgenden Eigenschaften:
Überprüfung der Existenz der Fourier-Transformation in einer in den Realwerten definierten Funktion f (t) R., Die folgenden 2 Axiome müssen erfüllt sein:
Sei M (t) und N (t) zwei beliebige Funktionen mit bestimmten Fourier-Transformationen mit beliebigen Konstanten a und b.
F. [a M (t) + b N (t)] (z) = a F. [M (t)] (z) + b F. [N (t)] (z)
Dies wird auch durch die Linearität des gleichnamigen Integrals unterstützt.
Es hat eine Funktion F. Das ist kontinuierlich und integrierbar in alle Realitäten, wo:
Und die Ableitung von f (f ') ist durchgehend und stückweise definiert R.
Die Fourier-Transformation einer Ableitung wird durch Teilintegration durch den folgenden Ausdruck definiert:
F. [f '(t)] (z) = izF. [f (t)] (z)
Bei Ableitungen höherer Ordnung wird es auf homologe Weise angewendet, wobei für alle n 1 Folgendes gilt:
F. [f n'(t)] (z) = (iz)nF. [f (t)] (z)
Es hat eine Funktion F. Das ist kontinuierlich und integrierbar in alle Realitäten, wo:
i (d / dz)F. [f (t)] (z) = F. [t. f (t)] (z)
Für alle θ welches zu einer Menge S und gehört T. welches zur Menge S 'gehört, haben wir:
F [ τzu θ] = und-iay F. [ θ] F [ τzuT. ] = und-iax F. [ T]
Mit τzu Arbeiten als Übersetzungsoperator für den Vektor a.
Für alle θ welches zu einer Menge S und gehört T. welches zur Menge S 'gehört, haben wir:
τzu F. [θ] = F. [und-iax.θ] τzu F [T. ] = F. [und-iay . T]
Für alle zu welches gehört zu R.
Für alle θ welches zu einer Menge S gehört. T. welches zur Menge S 'gehört
λ zugehörig R - 0 Sie müssen:
F. [θ (λx)] = (1 / | λ |) F. [θ] (Y /λ)
F. [T (λx)] = (1 / | λ |) F. [T] (y / λ)
Ja F. ist eine kontinuierliche und klar integrierbare Funktion, wobei a> 0. Dann:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
Um dieses Ergebnis zu demonstrieren, können wir mit der Änderung der Variablen fortfahren.
Wenn T → +, dann ist s = bei → + ∞
Wenn T → - dann ist s = bei → - ∞
Um die Symmetrie der Fourier-Transformation zu untersuchen, müssen die Identität von Parseval und die Plancherel-Formel überprüft werden.
Wir haben θ und δ, die dazu gehören S.. Daraus lässt sich ableiten, dass:
Bekommen
1 / (2π)d F [θ ], F [δ]] Parsevals Identität
1 / (2π)d / 2 || F [θ ]] ||L.zweiR.d Plancherel-Formel
Bei ähnlichen Zielen wie bei der Laplace-Transformation bezieht sich die Faltung von Funktionen auf das Produkt zwischen ihren Fourier-Transformationen.
Wir haben f und g als 2 begrenzte, bestimmte und vollständig integrierbare Funktionen:
F (f * g) = F (f). F (g)
Dann beim Ändern der Variablen
t + s = x; es geht weiter mit dem falschen Doppelintegral
F (f). F (g) = F (f. G)
Für alle θ welches dazu gehört R, F [ θ] gehorcht den Kriterien einer in R begrenzten stetigen Funktiond.
Ebenfalls F [ θ] (y) → 0 in C wenn | y | → ∞
Dieses mathematische Konzept wurde 1811 von Joseph B. Fourier vorgestellt, als er eine Abhandlung über die Wärmeverteilung. Es wurde schnell von verschiedenen Zweigen der Wissenschaft und Technik übernommen.
Es wurde als Hauptarbeitsinstrument bei der Untersuchung von Gleichungen mit partiellen Ableitungen etabliert und sogar mit der bestehenden Arbeitsbeziehung zwischen den verglichen Laplace-Transformation und gewöhnliche Differentialgleichungen.
Es dient in erster Linie dazu, Gleichungen erheblich zu vereinfachen und abgeleitete Ausdrücke in Potenzelemente umzuwandeln, wobei Differentialausdrücke in Form integrierbarer Polynome bezeichnet werden..
Bei der Optimierung, Modulation und Modellierung von Ergebnissen fungiert es als standardisierter Ausdruck und ist nach mehreren Generationen eine häufige Ressource für das Engineering.
Sie sind Reihen, die in Bezug auf Cosinus und Sinus definiert sind. Sie dienen dazu, die Arbeit mit allgemeinen periodischen Funktionen zu erleichtern. Wenn sie angewendet werden, sind sie Teil der Techniken zum Lösen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen..
Die Fourier-Reihen sind noch allgemeiner als die Taylor-Reihen, da sie periodische diskontinuierliche Funktionen entwickeln, die keine Taylor-Reihen-Darstellung haben..
Um die Fourier-Transformation analytisch zu verstehen, ist es wichtig, die anderen Möglichkeiten zu überprüfen, wie die Fourier-Reihe gefunden werden kann, bis wir die Fourier-Reihe in ihrer komplexen Notation definieren können.
Oft ist es notwendig, die Struktur einer Fourier-Reihe an periodische Funktionen anzupassen, deren Periode im Intervall [-L, L] p = 2L> 0 ist..
Das Intervall [-π, π] wird berücksichtigt, was Vorteile bietet, wenn die symmetrischen Eigenschaften der Funktionen ausgenutzt werden.
Wenn f gerade ist, wird die Fourier-Reihe als eine Reihe von Cosinus erstellt.
Wenn f ungerade ist, wird die Fourier-Reihe als eine Reihe von Sinuswerten festgelegt.
Wenn wir eine Funktion f (t) haben, die alle Entwicklungsanforderungen der Fourier-Reihe erfüllt, ist es möglich, sie im Intervall [-t, t] mit ihrer komplexen Notation zu bezeichnen:
Die Fourier-Transformation ist ein leistungsfähiges Werkzeug zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen vom linearen Typ mit konstanten Koeffizienten. Sie gelten gleichermaßen für Funktionen mit unbegrenzten Domänen.
Wie die Laplace-Transformation transformiert die Fourier-Transformation eine partielle Ableitungsfunktion in eine gewöhnliche Differentialgleichung, die viel einfacher zu bedienen ist..
Das Cauchy-Problem für die Wärmegleichung stellt ein Feld für die häufige Anwendung der Fourier-Transformation dar, in dem die Funktion erzeugt wird Wärmekern oder Dirichlet-Kern.
In Bezug auf die Berechnung der Grundlösung werden die folgenden Fälle vorgestellt, in denen es üblich ist, die Fourier-Transformation zu finden:
-Laplace-Gleichung
-Wärmegleichung
-Schrödinger-Gleichung
-Wellengleichung
Der allgemeine Grund für die Anwendung der Fourier-Transformation in diesem Zweig liegt hauptsächlich in der charakteristischen Zerlegung eines Signals als unendliche Überlagerung leichter behandelbarer Signale.
Es kann eine Schallwelle oder eine elektromagnetische Welle sein, die Fourier-Transformation drückt sie in einer Überlagerung einfacher Wellen aus. Diese Darstellung ist in der Elektrotechnik recht häufig.
Andererseits gibt es Beispiele für die Anwendung der Fourier-Transformation auf dem Gebiet der Signaltheorie:
-Systemidentifikationsprobleme. Etabliert f und g
-Problem mit der Konsistenz des Ausgangssignals
-Probleme mit der Signalfilterung
Definieren Sie die Fourier-Transformation für den folgenden Ausdruck:
Wir können es auch folgendermaßen darstellen:
F (t) = Sen (t) [H.(t + k) - H.(t - k) ]]
Der Rechteckimpuls ist definiert:
p (t) = H.(t + k) - H.(t - k)
Die Fourier-Transformation wird auf den folgenden Ausdruck angewendet, der dem Modulationssatz ähnelt.
f (t) = p (t) Sen (t)
Wo: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
Und die Fourier-Transformation ist definiert durch:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Definieren Sie die Fourier-Transformation für den Ausdruck:
Da f (h) eine gerade Funktion ist, kann festgestellt werden, dass
Die Integration nach Teilen erfolgt durch Auswahl der Variablen und ihrer Differentiale wie folgt
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-h)zwei v = (e-h)zwei / zwei
Ersetzen Sie haben
Nach Auswertung nach dem Grundsatz der Analysis
Unter Anwendung des Vorwissens über Differentialgleichungen erster Ordnung wird der Ausdruck als bezeichnet
Um K zu erhalten, werten wir aus
Schließlich wird die Fourier-Transformation des Ausdrucks definiert als
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