Das Riemannsumme ist der Name für die ungefähre Berechnung eines bestimmten Integrals mittels einer diskreten Summation mit einer endlichen Anzahl von Termen. Eine häufige Anwendung ist die Approximation des Funktionsbereichs in einem Diagramm.
Es war der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), der zuerst eine strenge Definition des Integrals einer Funktion in einem bestimmten Intervall anbot. Er machte es in einem Artikel bekannt, der 1854 veröffentlicht wurde.
Die Riemannsche Summe wird auf einer Funktion y = f (x) definiert, wobei x zum geschlossenen Intervall [a, b] gehört. In diesem Intervall wird eine Partition P von n Elementen erstellt:
P = x0= a, x1, xzwei,..., xn= b
Dies bedeutet, dass das Intervall wie folgt aufgeteilt wird:
xk-1 ≤ tk ≤ xk
Abbildung 1 zeigt grafisch die Riemannsche Summe der Funktion f im Intervall [x0, x4] auf einer Partition von vier Teilintervallen die grauen Rechtecke.
Die Summe stellt die Gesamtfläche der Rechtecke dar und das Ergebnis dieser Summe approximiert numerisch die Fläche unter der Kurve f zwischen der Abszisse x = x0 y x = x4.
Natürlich verbessert sich die Annäherung an die Fläche unter der Kurve mit der Anzahl erheblich n Partitionen ist größer. Auf diese Weise konvergiert die Summe gegen die Fläche unter der Kurve, wenn die Zahl n von Partitionen neigt zur Unendlichkeit.
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Die Riemannsche Summe der Funktion f (x) auf der Partition:
P = x0= a, x1, xzwei,..., xn= b
Definiert für das Intervall [a, b] ist es gegeben durch:
S (P, f) = ∑k = 1n f (tk) (xk - xk-1)
Wo T.k ist ein Wert für das Intervall [xk, xk-1]. In der Riemannschen Summe werden üblicherweise regelmäßige Intervalle der Breite Δx = (b - a) / n verwendet, wobei a und b die Minimal- und Maximalwerte der Abszisse sind, während n die Anzahl der Unterteilungen ist.
In diesem Fall ist die Riemann richtige Summe es ist:
Sd (f, n) = [f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Δx) + f (b)] * Δx
Während Riemann hat die Summe verlassen wird ausgedrückt als:
Wenn (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Endlich, das zentrale Riemannsche Summe es ist:
Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Abhängig davon, wo sich der Punkt t befindetk auf dem Intervall [xk, xk-1] Die Riemannsche Summe kann den genauen Wert der Fläche unter der Kurve der Funktion y = f (x) überschätzen oder unterschätzen. Mit anderen Worten, die Rechtecke können aus der Kurve herausragen oder leicht darunter liegen..
Die Haupteigenschaft der Riemannschen Summe, aus der sich ihre Bedeutung ergibt, ist, dass das Ergebnis der Summe gegen das bestimmte Integral der Funktion konvergiert, wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich tendiert:
Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals zwischen a = -2 bis b = +2 der Funktion:
f (x) = xzwei
Nutzen Sie eine Riemannsche Summe. Finden Sie dazu zuerst die Summe für n reguläre Partitionen des Intervalls [a, b] und nehmen Sie dann die mathematische Grenze für den Fall, dass die Anzahl der Partitionen gegen unendlich tendiert.
Dies sind die folgenden Schritte:
-Definieren Sie zunächst das Intervall der Partitionen wie folgt:
Δx = (b - a) / n.
-Dann sieht die Riemannsche Summe von rechts, die der Funktion f (x) entspricht, folgendermaßen aus:
[-2 + (4i / n)]zwei = 4 - (16 i / n) + (4 / n)zwei ichzwei
-Und dann wird es in der Summe sorgfältig ersetzt:
-Der nächste Schritt besteht darin, die Summierungen zu trennen und die konstanten Größen als gemeinsamen Faktor für jede Summe zu verwenden. Es ist zu berücksichtigen, dass der Index i ist, daher die Zahlen und die Begriffe mit n gelten als konstant:
-Jede Summation wird ausgewertet, da es für jede von ihnen geeignete Ausdrücke gibt. Zum Beispiel gibt die erste der Summen n:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nzwei
-Schließlich haben wir das Integral, das wir berechnen möchten:
= 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333
Der Leser kann überprüfen, ob dies das genaue Ergebnis ist, das durch Lösen des unbestimmten Integrals und Bewerten der Integrationsgrenzen nach der Barrow-Regel erhalten werden kann.
Bestimmen Sie ungefähr den Bereich unter der Funktion:
f (x) = (1 / √ (2π)) e(-xzwei/zwei)
Geben Sie x = -1 und x = + 1 mit einer zentralen Riemann-Summe mit 10 Partitionen ein. Vergleichen Sie mit dem genauen Ergebnis und schätzen Sie die prozentuale Differenz.
Der Schritt oder das Inkrement zwischen zwei aufeinanderfolgenden diskreten Werten ist:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Die Partition P, auf der die Rechtecke definiert sind, sieht also folgendermaßen aus:
P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0
Da jedoch die zentrale Summe gewünscht wird, wird die Funktion f (x) an den Mittelpunkten der Teilintervalle ausgewertet, dh in der Menge:
T = -0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.
Die (zentrale) Riemannsche Summe sieht folgendermaßen aus:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 + ... + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Da die Funktion f symmetrisch ist, ist es möglich, die Summe auf nur 5 Terme zu reduzieren und das Ergebnis mit zwei zu multiplizieren:
S = 2 · 0,2 · f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)
S = 2 * 0,2 * 0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683
Die in diesem Beispiel angegebene Funktion ist keine andere als die bekannte Gaußsche Glocke (normalisiert, mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung von Eins). Die Fläche unter der Kurve im Intervall [-1,1] für diese Funktion beträgt bekanntermaßen 0,6827.
Dies bedeutet, dass die ungefähre Lösung mit nur 10 Termen der exakten Lösung mit drei Dezimalstellen entspricht. Der prozentuale Fehler zwischen dem ungefähren und dem exakten Integral beträgt 0,07%.
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