Das Halbkreis ist eine ebene Figur, die durch einen Durchmesser des Umfangs und einen der beiden flachen Kreisbögen begrenzt ist, die durch den Durchmesser bestimmt werden.
Auf diese Weise wird ein Halbkreis von a begrenzt Halbumfang, welches aus einem flachen Kreisbogen und einem geraden Segment besteht, das die Enden des flachen Kreisbogens verbindet. Der Halbkreis umfasst den Halbkreis und alle darin enthaltenen Punkte..
Wir können dies in Abbildung 1 sehen, die einen Halbkreis mit dem Radius R zeigt, dessen Maß halb so groß ist wie der Durchmesser AB. Beachten Sie, dass es im Gegensatz zu einem Kreis, in dem es unendlich viele Durchmesser gibt, im Halbumfang nur einen Durchmesser gibt.
Der Halbkreis ist eine geometrische Figur mit vielen Verwendungsmöglichkeiten in Architektur und Design, wie wir im folgenden Bild sehen:
Artikelverzeichnis
Die Elemente eines Halbkreises sind:
1.- Der ebene Kreisbogen A⌒B
2.- Das Segment [AB]
3.- Die Punkte innerhalb des Halbkreises, die sich aus dem Bogen A⌒B und dem Segment [AB] zusammensetzen..
Der Umfang ist die Summe der Kontur des Bogens plus der des geraden Segments, daher:
Umfang = Bogenlänge A⌒B + Segmentlänge [AB]
Im Fall eines Halbkreises mit dem Radius R wird sein Umfang P durch die Formel gegeben:
P = π⋅R + 2⋅R = (π + 2) ⋅R
Der erste Term ist der halbe Umfang eines Kreises mit dem Radius R, während der zweite die Länge des Durchmessers ist, der doppelt so groß ist wie der Radius..
Da ein Halbkreis einer der ebenen Winkelsektoren ist, die beim Zeichnen eines Durchmessers durch den Umfang verbleiben, ist seine Fläche A die Hälfte der Fläche des Kreises, der den Halbkreis mit dem Radius R enthält:
A = (π⋅Rzwei) / 2 = ½ π⋅Rzwei
Der Schwerpunkt eines Halbkreises liegt auf seiner Symmetrieachse in einer Höhe, gemessen ab seinem Durchmesser von 4 / (3π) mal dem Radius R..
Dies entspricht ungefähr 0,424⋅R, gemessen von der Mitte des Halbkreises und auf seiner Symmetrieachse, wie in Abbildung 3 gezeigt.
Das Trägheitsmoment einer ebenen Figur in Bezug auf eine Achse, beispielsweise die x-Achse, ist definiert als:
Das Integral des Quadrats des Abstands der zur Figur gehörenden Punkte zur Achse, wobei das Integrationsdifferential ein infinitesimales Flächenelement ist, das an der Position jedes Punktes genommen wird.
Abbildung 4 zeigt die Definition des Trägheitsmoments I.x des Halbkreises mit dem Radius R in Bezug auf die X-Achse, die durch ihre Diagonale verläuft:
Das Trägheitsmoment um die x-Achse ist gegeben durch:
ichx = (π⋅R4) / 8
Und das Trägheitsmoment in Bezug auf die Symmetrieachse y ist:
Iy = (π⋅R4) / 8
Es wird angemerkt, dass beide Trägheitsmomente in ihrer Formel zusammenfallen, es ist jedoch wichtig zu beachten, dass sie sich auf verschiedene Achsen beziehen.
Der im Halbkreis eingeschriebene Winkel beträgt immer 90º. Unabhängig davon, wo der Punkt auf dem Bogen aufgenommen wird, ist der Winkel zwischen den Seiten AB und BC der Figur immer richtig..
Bestimmen Sie den Umfang eines Halbkreises mit einem Radius von 10 cm.
Denken Sie daran, dass der Umfang als Funktion des Radius durch die Formel gegeben ist, die wir zuvor gesehen haben:
P = (2 + π) ⋅R
P = (2 + 3,14) ≤ 10 cm = 5,14 ≤ 10 cm = 51,4 cm.
Finden Sie die Fläche eines Halbkreises mit einem Radius von 10 cm.
Die Formel für die Fläche eines Halbkreises lautet:
A = ½ π⋅Rzwei = ½ π⋅ (10 cm)zwei = 50 & pgr; cmzwei = 50 x 3,14 cmzwei = 157 cmzwei.
Bestimmen Sie die Höhe h des Schwerpunkts eines Halbkreises mit dem Radius R = 10 cm, gemessen von seiner Basis, wobei der Durchmesser des Halbkreises gleich ist.
Der Schwerpunkt ist der Gleichgewichtspunkt des Halbkreises und seine Position liegt auf der Symmetrieachse in einer Höhe h von der Basis (Durchmesser des Halbkreises):
h = (4 · R) / (3 & pgr;) = (4 · 10 cm) / (3 · 3,14) = 4,246 cm
Finden Sie das Trägheitsmoment eines Halbkreises in Bezug auf die Achse, die mit seinem Durchmesser übereinstimmt, und wissen Sie, dass der Halbkreis aus einer dünnen Schicht besteht. Sein Radius beträgt 10 cm und seine Masse 100 Gramm.
Die Formel, die das Trägheitsmoment des Halbkreises angibt, lautet:
ichx = (π⋅R4) / 8
Da das Problem jedoch besagt, dass es sich um einen materiellen Halbkreis handelt, muss die vorherige Beziehung mit der Oberflächendichte der Masse des Halbkreises multipliziert werden, die mit σ bezeichnet wird.
ichx = σ (π⋅R4) / 8
Wir fahren dann fort, σ zu bestimmen, was nichts anderes ist als die Masse des Halbkreises geteilt durch seine Fläche.
Die Fläche wurde in Übung 2 bestimmt und das Ergebnis betrug 157 cmzwei. Dann ist die Oberflächendichte dieses Halbkreises:
σ = 100 g / 157 cmzwei = 0,637 g / cmzwei
Dann wird das Trägheitsmoment in Bezug auf den Durchmesser wie folgt berechnet:
ichx = (0,637 g / cmzwei) [3,1416 ⋅ (10 cm)4] / 8
Ergebnis:
ichx = 2502 g · cmzwei
Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines Halbkreises mit einem Radius von 10 cm aus einem Materialblech mit einer Oberflächendichte von 0,637 g / cmzwei entlang einer Achse, die durch ihren Schwerpunkt verläuft und parallel zu seinem Durchmesser verläuft.
Um diese Übung zu lösen, muss man sich an Steiners Satz über Trägheitsmomente paralleler Achsen erinnern, der besagt:
Das Trägheitsmoment I in Bezug auf eine Achse, die sich in einem Abstand h vom Schwerpunkt befindet, ist gleich der Summe des Trägheitsmoments I.c in Bezug auf eine Achse, die durch den Schwerpunkt verläuft und parallel zur ersten plus dem Produkt aus Masse und Quadrat der Trennung der beiden Achsen verläuft.
Ich = ichc + M hzwei
In unserem Fall ist mir bekannt, welches das Trägheitsmoment in Bezug auf den Durchmesser ist, das bereits in Übung 4 berechnet wurde. Der Abstand h zwischen dem Durchmesser und dem Schwerpunkt ist ebenfalls bekannt, der in Übung 3 berechnet wurde.
Wir müssen nur Ic löschen:
ichc = I - M hzwei
ichc = 2502 g · cmzwei - 4,246 cm (100 g)zwei als Ergebnis ergibt sich, dass das Trägheitsmoment durch eine Achse parallel zum Durchmesser und durch den Schwerpunkt verläuft:
ichc = 699,15 g · cmzwei
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