Das stehende Wellen Es sind Wellen, die sich in einem begrenzten Medium ausbreiten und in einem Teil des Raums gehen und kommen, im Gegensatz zu Wanderwellen, die sich bei ihrer Ausbreitung von der Quelle entfernen, von der sie stammen, und nicht zu ihr zurückkehren.
Sie sind die Grundlage für die in Musikinstrumenten erzeugten Klänge, da sie in den festen Saiten entweder an einem Ende oder an beiden leicht entstehen. Sie entstehen auch in dichten Membranen wie Fässern oder in Rohren und Strukturen wie Brücken und Gebäuden..
Wenn Sie an beiden Enden eine feste Saite haben, wie zum Beispiel eine Gitarre, werden Wellen mit identischer Amplitude und Frequenz erzeugt, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen und zusammen ein Phänomen namens erzeugen Interferenz.
Wenn die Wellen in Phase sind, sind die Spitzen und Täler ausgerichtet und führen zu einer Welle mit der doppelten Amplitude. In diesem Fall sprechen wir von konstruktiven Eingriffen.
Wenn jedoch die Störwellen phasenverschoben sind, treffen die Spitzen von einer auf die Täler von anderen und die resultierende Amplitude ist Null. Es geht dann um destruktive Interferenz.
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Die Hauptelemente der Welle, um sie räumlich und zeitlich darzustellen, sind ihre Amplitude A, ihre Wellenlänge λ und ihre Winkelfrequenz ω.
In der mathematischen Darstellung ist es bevorzugt, k als das zu verwenden Wellenzahl oder wie oft die Welle pro Längeneinheit auftritt. Deshalb wird es durch die Wellenlänge λ definiert, die der Abstand zwischen zwei Tälern oder zwei Graten ist:
k = 2π / λ
Während Winkelfrequenz bezieht sich auf die Periode oder Dauer einer vollständigen Schwingung, wie z.
ω = 2π / T.
Und auch die Frequenz f ist gegeben durch:
f = ω / 2π
Deshalb:
f = 1 / T.
Auch die Wellen bewegen sich mit Geschwindigkeit v gemäß:
v = λ.f
Mathematisch können wir eine Welle mit der Sinusfunktion oder der Cosinusfunktion ausdrücken. Angenommen, wir haben Wellen gleicher Amplitude A, Wellenlänge λ und Frequenz ω, die sich entlang einer Kette und in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten:
Y.1 = A sin (kx - ωt)
Y.zwei = A sin (kx + ωt)
Wenn wir sie hinzufügen, finden wir die resultierende Welle undR.::
Y.R. = und1 + Y.zwei = A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)
Es gibt eine trigonometrische Identität, um die Summe zu finden:
sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (α - β) / 2
Durch diese Identität entsteht die resultierende Welle yR. Überreste:
Y.R. = [2A sin kx]. cos ωt
Die resultierende Welle hat die Amplitude A.R. = 2Asen kx, was von der Position des Partikels abhängt. Dann verschwindet an den Punkten, für die sin kx = 0 ist, die Amplitude der Welle, dh es gibt keine Schwingung.
Diese Punkte sind:
kx = π, 2π, 3π…
Da k = 2 π / λ:
(2 π / λ) x = π, 2π, 3π…
x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...
Destruktive Interferenzen treten an solchen Stellen auf und werden aufgerufen Knoten. Sie sind durch einen Abstand von λ / 2 getrennt, wie aus dem vorherigen Ergebnis abgeleitet.
Und zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten befinden sich die Gegenknoten oder Bäuche, bei dem die Amplitude der Welle maximal ist, da dort konstruktive Interferenzen auftreten. Sie treten auf, wenn:
sin kx = ± 1
kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2…
Wieder ist k = 2 π / λ und dann:
x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4,…
Die Randbedingungen in der Zeichenfolge bestimmen, wie die Wellenlängen und Frequenzen sind. Wenn eine Saite der Länge L an beiden Enden fixiert ist, kann sie mit keiner Frequenz vibrieren, da die Punkte, an denen die Saite fixiert ist, bereits Knoten sind.
Darüber hinaus beträgt der Abstand zwischen benachbarten Knoten λ / 2 und zwischen Knoten und Bauch λ / 4, so dass nur für bestimmte Wellenlängen stationäre Wellen erzeugt werden: solche, in die eine ganze Zahl n von λ / 2 passt in:
(λ / 2) = L, mit n = 1, 2, 3, 4 ... .
Deshalb:
λ = 2 l / n
Die verschiedenen Werte, die λ annimmt, werden aufgerufen Harmonische. So haben wir:
-Erste Harmonische: λ = 2L
-Zweite Harmonische: λ = L.
-Dritte Harmonische: λ = 2 L / 3
-Vierte Harmonische: λ = L / 2
Und so weiter.
Auch wenn sich die stehende Welle nicht zu bewegen scheint, ist die Gleichung immer noch gültig:
v = λ. F.
Deshalb:
v = (2 l / n). F.
f = nv / 2L
Nun kann gezeigt werden, dass die Geschwindigkeit, mit der sich eine Welle in einer Saite bewegt, von der Spannung T in ihr und ihrer linearen Dichte der Masse μ (Masse pro Längeneinheit) abhängt als:
Deshalb:
-Wenn die Wellen stationär sind, breitet sich die resultierende Welle nicht wie ihre Komponenten aus, die von einer Seite zur anderen gehen. Es gibt Punkte, an denen y = 0 ist, weil es keine Schwingung gibt: die Knoten, mit anderen Worten die Amplitude A.R. es wird Null.
-Der mathematische Ausdruck einer stehenden Welle besteht aus dem Produkt eines räumlichen Teils (der von der x-Koordinate oder den räumlichen Koordinaten abhängt) und einem zeitlichen Teil.
-Zwischen den Knoten schwingt die resultierende schwarze Welle an einer Stelle, während die Wellen, die von einer Seite zur anderen gehen, dort phasenverschoben sind..
-Energie wird nicht direkt an den Knoten transportiert, da diese proportional zum Quadrat der Amplitude ist, sondern zwischen den Knoten eingeschlossen.
-Der Abstand zwischen benachbarten Knoten beträgt die halbe Wellenlänge.
-Die Punkte, an denen der Akkord fixiert ist, werden ebenfalls als Knoten betrachtet..
Die Wellen in einer festen Kette sind Beispiele für stehende Wellen in einer Dimension, deren mathematische Beschreibung wir in den vorherigen Abschnitten angeboten haben..
Stehende Wellen können auch in zwei und drei Dimensionen dargestellt werden, wobei ihre mathematische Beschreibung etwas komplexer ist.
-Ein an einem Ende befestigtes Seil, das von Hand oder mit einem Kolben am anderen Ende schwingt, erzeugt entlang seiner Länge stehende Wellen.
-Das Spielen von Saiteninstrumenten wie Gitarre, Harfe, Violine und Klavier erzeugt ebenfalls stehende Wellen, da die Saiten auf unterschiedliche Spannungen eingestellt und an beiden Enden befestigt sind.
Stehende Wellen werden auch in Röhren mit Luft erzeugt, wie z. B. Orgelröhren..
Stehende Wellen entstehen in Strukturen wie Brücken und Gebäuden. Ein bemerkenswerter Fall war der der Hängebrücke Tacoma Narrows in der Nähe der Stadt Seattle in den USA. Kurz nach ihrer Einweihung im Jahr 1940 stürzte diese Brücke aufgrund der vom Wind im Inneren erzeugten stehenden Wellen ein..
Die Frequenz des Windes wurde mit der Eigenfrequenz der Brücke gepaart, wodurch stehende Wellen erzeugt wurden, deren Amplitude zunahm, bis die Brücke zusammenbrach. Das Phänomen ist als Resonanz bekannt.
In Häfen gibt es ein sehr merkwürdiges Phänomen seiche, in denen die Wellen des Meeres große Schwingungen erzeugen. Dies liegt an der Tatsache, dass die Gewässer im Hafen ziemlich umschlossen sind, obwohl die ozeanischen Gewässer von Zeit zu Zeit durch die Einfahrt des Hafens eindringen..
Hafengewässer bewegen sich mit ihrer eigenen Frequenz, genau wie die des Ozeans. Wenn beide Gewässer ihren Frequenzen entsprechen, wird durch Resonanz eine große stehende Welle erzeugt, wie dies bei der Tacoma-Brücke der Fall ist..
Das seiches Sie können auch in Seen, Stauseen, Schwimmbädern und anderen oberflächenbeschränkten Gewässern auftreten..
Stehende Wellen können in einem von einer Person getragenen Aquarium erzeugt werden, wenn die Häufigkeit, mit der die Person geht, der Häufigkeit des Schwankens des Wassers entspricht.
Eine Gitarrensaite hat L = 0,9 m und eine lineare Massendichte μ = 0,005 kg / m. Es wird einer Spannung von 72 N ausgesetzt und seine Schwingungsart ist die in der Figur gezeigte mit einer Amplitude von 2A = 0,5 cm.
Finden:
a) Ausbreitungsgeschwindigkeit
b) Wellenfrequenz
c) Die entsprechende Stehwellengleichung.
Durch:
Wird erhalten;
v = [72 N / (0,005 kg / m)]1/2 = 120 m / s.
Der Abstand zwischen zwei benachbarten Knoten beträgt daher λ / 2:
(2/3) L - (1/3) L = λ / 2
(1/3) L = λ / 2
λ = 2L / 3 = 2 · 0,90 m / 3 = 0,60 m.
Da v = λ.f
f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s-1= 200 Hz.
Die Gleichung lautet:
Y.R. = [2A sin kx]. cos ωt
Wir müssen die Werte ersetzen:
k = 2 & pgr; / & lgr; = k = 2 & pgr; / 0,60 m = 10 & pgr; / 3
f = ω / 2π
ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.
Die Amplitude 2A ist bereits durch die Aussage gegeben:
2A = 0,5 cm = 5 × 10 -3 m.
Deshalb:
Y.R. = 5 x 10 -3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400 & pgr; t) =
= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)
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