Das ungefähre Messung von amorphen Figuren besteht aus einer Reihe von Methoden, mit denen die Fläche oder der Umfang von geometrischen Figuren bestimmt wird, die keine Dreiecke, Quadrate, Kreise usw. sind. Einige sind auf dreidimensionale Figuren erweiterbar.
Grundsätzlich besteht die Messung darin, ein Gitter mit einer regelmäßigen Form wie Rechtecken, Quadraten oder Trapezoiden zu erstellen, die ungefähr die Oberfläche bedecken. Die Genauigkeit der durch diese Verfahren erhaltenen Flächennäherung nimmt mit der Feinheit oder Dichte des Gitters zu..
Die Abbildungen 1 und 2 zeigen verschiedene amorphe Figuren. Zur Berechnung der Fläche wurde ein Raster erstellt, das aus 2 x 2 Quadraten besteht, die wiederum in fünfundzwanzig 2/5 x 2/5 Quadrate unterteilt sind.
Das Addieren der Flächen der Hauptquadrate und der Nebenquadrate ergibt die ungefähre Fläche der amorphen Figur.
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Oft ist es notwendig, die Fläche unter einer Kurve zwischen zwei Grenzwerten grob zu berechnen. In diesem Fall können anstelle eines quadratischen Gitters rechteckige Streifen gezeichnet werden, die den Bereich unter dieser Kurve grob abdecken..
Die Summe aller rechteckigen Streifen wird aufgerufen Summe oder Riemannsumme. Abbildung 3 zeigt eine Aufteilung des Intervalls [a, b], über das wir die Fläche unter der Kurve approximieren möchten.
Angenommen, Sie möchten die Fläche unter der durch die Funktion y = f (x) gegebenen Kurve berechnen, wobei x zu dem Intervall [a, b] gehört, in dem Sie die Fläche berechnen möchten. Dazu wird innerhalb dieses Intervalls eine Partition von n Elementen erstellt:
Partition = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Dann wird die ungefähre Fläche unter der Kurve, die durch y = f (x) im Intervall [a, b] gegeben ist, erhalten, indem die folgende Summierung durchgeführt wird:
S = ∑k = 1n f (tk) (xk - xk-1)
Wo T.k liegt zwischen xk-1 und xk: xk-1 ≤ tk ≤ xk .
Abbildung 3 zeigt grafisch die Riemannsche Summe der Kurve y = f (x) im Intervall [x0, x4]. In diesem Fall wurde eine Aufteilung von vier Teilintervallen vorgenommen, und die Summe repräsentiert die Gesamtfläche der grauen Rechtecke.
Diese Summe stellt eine Annäherung an die Fläche unter der Kurve f zwischen der Abszisse x = x0 und x = x4 dar.
Die Annäherung an die Fläche unter der Kurve verbessert sich mit der Anzahl n Die Anzahl der Partitionen ist größer und entspricht in der Regel genau der Fläche unter der Kurve, wenn die Anzahl angegeben ist n von Partitionen neigt zur Unendlichkeit.
Wenn die Kurve durch eine analytische Funktion dargestellt wird, werden die Werte f (tk) werden berechnet, indem diese Funktion bei den t-Werten ausgewertet wirdk. Wenn die Kurve jedoch keinen analytischen Ausdruck hat, bleiben folgende Möglichkeiten bestehen:
Abhängig von der Wahl des Wertes tk im Intervall [xk, xk-1] kann die Summe den genauen Wert der Fläche unter der Kurve der Funktion y = f (x) überschätzen oder unterschätzen. Am ratsamsten ist es, den Punkt tk zu nehmen, an dem die fehlende Fläche ungefähr gleich der überschüssigen Fläche ist, obwohl es nicht immer möglich ist, eine solche Wahl zu treffen..
Am praktischsten ist es dann, regelmäßige Intervalle der Breite Δx = (b - a) / n zu verwenden, wobei a und b die Minimal- und Maximalwerte der Abszisse sind, während n die Anzahl der Unterteilungen ist.
In diesem Fall wird die Fläche unter der Kurve angenähert durch:
Fläche = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
In dem obigen Ausdruck wurde tk am rechten Ende des Subintervalls genommen.
Eine andere praktische Möglichkeit besteht darin, den Wert tk ganz links zu nehmen. In diesem Fall wird die Summe, die sich der Fläche annähert, ausgedrückt als:
Fläche = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Wenn tk als zentraler Wert des regulären Teilintervalls der Breite Δx gewählt wird, beträgt die Summe, die sich der Fläche unter der Kurve annähert:
Fläche = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Jeder dieser Ausdrücke tendiert zu dem exakten Wert in dem Maße, in dem die Anzahl der Unterteilungen beliebig groß ist, dh dass Δx gegen Null tendiert, aber in diesem Fall wird die Anzahl der Terme in der Summierung mit den daraus resultierenden Berechnungskosten immens groß.
Abbildung 2 zeigt eine amorphe Figur, deren Kontur den Steinen in Bild 1 ähnelt. Um ihre Fläche zu berechnen, wird sie auf einem Raster mit Hauptquadraten von 2 x 2 quadratischen Einheiten platziert (zum Beispiel können sie 2 cm² groß sein)..
Und da jedes Quadrat in 5 x 5 Unterteilungen unterteilt ist, hat jede Unterteilung eine Fläche von 0,4 x 0,4 quadratischen Einheiten (0,16 cm²)..
Die Fläche der Figur würde wie folgt berechnet:
Fläche = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Nämlich:
Fläche = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Berechnen Sie ungefähr die Fläche unter der Kurve, die durch die Funktion f (x) = x gegeben istzwei zwischen a = -2 bis b = +2. Schreiben Sie dazu zuerst die Summe für n reguläre Partitionen des Intervalls [a, b] und nehmen Sie dann die mathematische Grenze für den Fall, dass die Anzahl der Partitionen gegen unendlich tendiert.
Zunächst definieren Sie das Intervall der Partitionen als
Δx = (b - a) / n.
Dann sieht die richtige Summe, die der Funktion f (x) entspricht, so aus:
[-2 + (4i / n)]zwei = 4 - 16 i / n + (4 / n)zwei ichzwei
Und dann wird es in der Summe ersetzt:
Und das dritte Ergebnis:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nzwei
Wenn Sie einen großen Wert für n wählen, erhalten Sie eine gute Annäherung an die Fläche unter der Kurve. In diesem Fall ist es jedoch möglich, den genauen Wert zu erhalten, indem die mathematische Grenze genommen wird, wenn n gegen unendlich tendiert:
Fläche = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nzwei]]
Fläche = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.
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