Unbestimmte integrale Eigenschaften, Anwendungen, Kalkül (Beispiele)

Das unbestimmtes Integral ist die inverse Operation der Ableitung und um sie zu bezeichnen, wird das Symbol des länglichen "s" verwendet: ∫. Mathematisch ist das unbestimmte Integral der Funktion F (x) geschrieben:

∫F (x) dx = f (x) + C.

Wobei der Integrand F (x) = f '(x) eine Funktion der Variablen ist x, Dies ist wiederum die Ableitung einer anderen Funktion f (x), die als Integral oder Antiderivativ bezeichnet wird.

C ist wiederum eine Konstante, die als bekannt ist Konstante der Integration, was immer das Ergebnis jedes unbestimmten Integrals begleitet. Wir werden seinen Ursprung sofort anhand eines Beispiels sehen.

Angenommen, wir werden gebeten, das folgende unbestimmte Integral I zu finden:

I = ∫x.dx.

Sofort wird f '(x) mit x identifiziert. Dies bedeutet, dass wir eine Funktion f (x) so bereitstellen müssen, dass ihre Ableitung x ist, was nicht schwierig ist:

f (x) = ½ x^zwei

Wir wissen, dass wir durch Differenzieren von f (x) f '(x) erhalten, wir überprüfen es:

[½ x^zwei] '= 2. (½ x) = x

Nun ist die Funktion: f (x) = ½ x^zwei + 2 erfüllt auch die Anforderung, da die Ableitung linear ist und die Ableitung einer Konstanten 0 ist. Andere Funktionen, die, wenn sie abgeleitet werden, f (x) = ergeben, sind:

½ x^zwei -1, ½ x^zwei + fünfzehn; ½ x^zwei - √2…

Und im Allgemeinen alle Funktionen des Formulars:

f (x) = ½ x^zwei + C.

Sie sind richtige Antworten auf das Problem.

Jede dieser Funktionen wird aufgerufen Antiderivativ oder primitiv von f '(x) = x und es ist genau zu dieser Menge aller Antiderivative einer Funktion das, was als unbestimmtes Integral bekannt ist.

Es reicht aus, nur eines der Grundelemente zu kennen, denn wie zu sehen ist, ist der einzige Unterschied zwischen ihnen das konstante C der Integration.

Wenn das Problem Anfangsbedingungen enthält, ist es möglich, den Wert von C so zu berechnen, dass er zu ihnen passt (siehe das gelöste Beispiel unten)..

Artikelverzeichnis

• 1 So berechnen Sie ein unbestimmtes Integral
  • 1.1 - Gearbeitetes Beispiel
• 2 Anwendungen
  • 2.1 Bewegung
  • 2.2 Wirtschaft
• 3 Bewerbungsübung
  • 3.1 Lösung
• 4 Referenzen

So berechnen Sie ein unbestimmtes Integral

Im vorherigen Beispiel wurde ∫x.dx berechnet, weil eine Funktion f (x) bekannt war, die bei Ableitung zum Integranden führte.

Aus diesem Grund können aus den bekanntesten Funktionen und ihren Ableitungen grundlegende Integrale schnell gelöst werden.

Darüber hinaus gibt es einige wichtige Eigenschaften, die den Bereich der Möglichkeiten beim Lösen eines Integrals erweitern. Sein k eine reelle Zahl, dann ist es wahr, dass:

1.- dkdx = k ∫dx = kx + C.

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ dx = [x^{n + 1}/ n + 1] + C (n ≤ -1)

5.- ∫x ^-1 dx = ln x + C.

Je nach Integrand gibt es verschiedene algebraische sowie numerische Methoden zur Lösung von Integralen. Hier erwähnen wir:

-Variablenänderung

-Algebraische und trigonometrische Substitutionen.

-Integration in Teilstücken

-Zerlegung in einfache Brüche für Integranden rationalen Typs

-Tabellen verwenden

-Numerische Methoden.

Es gibt Integrale, die mit mehr als einer Methode gelöst werden können. Leider gibt es kein einziges Kriterium, um a priori die effektivste Methode zur Lösung eines bestimmten Integrals zu bestimmen.

Mit einigen Methoden können Sie die Lösung bestimmter Integrale schneller erreichen als mit anderen. Die Wahrheit ist jedoch, dass Sie mit jeder Methode üben müssen, um Integrale zum Lösen von Fähigkeiten zu erwerben.

- Gearbeitetes Beispiel

Aussortieren:

Lassen Sie uns eine einfache Variablenänderung für die subradikale Größe durchführen:

u = x-3

Mit:

x = u + 3

Das Ableiten beider Seiten in einem der beiden Ausdrücke ergibt:

dx = du

Jetzt ersetzen wir das Integral, das wir als I bezeichnen werden:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u^1/2 du

Wir wenden Verteilungseigenschaft und Multiplikation von Potenzen gleicher Basis an und erhalten:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Nach Eigenschaft 3 aus dem vorherigen Abschnitt:

I = ∫ u^3/2 du + u 3u^1/2 du

Nun wird die Eigenschaft 4 angewendet, die als bekannt ist Machtregel::

Erstes Integral

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C.₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C.₁ = (2/5) u^5/2  + C.₁

Zweites Integral

U 3u^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C._zwei =

= 3 (2/3) u^3/2  + C._zwei = 2u^3/2  + C._zwei

Dann werden die Ergebnisse in I zusammengefasst:

I = (2/5) u^5/2  + 2u^3/2  + C.

Die beiden Konstanten können problemlos zu einer kombiniert werden. Vergessen Sie nicht, die zuvor vorgenommene Änderung der Variablen zurückzugeben und das Ergebnis in Form der ursprünglichen Variablen x auszudrücken:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C.

Es ist möglich, das Ergebnis zu faktorisieren:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + C.

Anwendungen

Das unbestimmte Integral gilt für zahlreiche natur- und sozialwissenschaftliche Modelle, zum Beispiel:

Bewegung

Bei der Lösung von Bewegungsproblemen die Geschwindigkeit eines Mobiltelefons zu berechnen, seine Beschleunigung zu kennen und bei der Berechnung der Position eines Mobiltelefons seine Geschwindigkeit zu kennen.

Wirtschaft

Zum Beispiel bei der Berechnung der Produktionskosten von Artikeln und der Modellierung einer Bedarfsfunktion.

Bewerbungsübung

Die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt benötigt, um der Anziehungskraft der Erde zu entkommen, ist gegeben durch:

In diesem Ausdruck:

-v ist die Geschwindigkeit des Objekts, das von der Erde entkommen möchte

-y ist die Entfernung, die vom Mittelpunkt des Planeten gemessen wird

-M ist die Landmasse

-G ist die Gravitationskonstante

Es wird gebeten, die Beziehung zwischen zu finden v Y. Y., Lösen der unbestimmten Integrale, wenn dem Objekt eine Anfangsgeschwindigkeit v gegeben wird_oder und der Radius der Erde ist bekannt und heißt R..

Lösung

Es werden zwei unbestimmte Integrale vorgestellt, die mithilfe der Integrationsregeln gelöst werden können:

ich₁ = ∫v dv = v^zwei/ 2 + C.₁

ich_zwei = -GM ∫ (1 / y^zwei) dy = -GM ≤ y^-zwei dy = -GM [y^{-2 + 1}/ (- 2 + 1)] + C._zwei = GM. Y.^-1 + C._zwei

Wir setzen mich gleich₁ und ich_zwei::

v^zwei/ 2 + C.₁ = GM. Y.^-1 + C._zwei

Die beiden Konstanten können zu einer kombiniert werden:

Sobald die Integrale gelöst sind, wenden wir die folgenden Anfangsbedingungen an: Wenn sich das Objekt auf der Erdoberfläche befindet, befindet es sich in einem Abstand R von seinem Zentrum. In der Aussage sagen sie uns, dass y die Entfernung ist, die vom Erdmittelpunkt gemessen wird.

Und nur an der Oberfläche zu sein, ist, dass es die Anfangsgeschwindigkeit vo erhält, mit der es der Anziehungskraft des Planeten entkommen wird. Daher können wir feststellen, dass v (R) = v ist_oder. In diesem Fall hindert uns nichts daran, diese Bedingung durch das gerade erhaltene Ergebnis zu ersetzen:

Und da v_oder ist bekannt, und ebenso wie G, M und R können wir nach dem Wert der Integrationskonstante C lösen:

Was wir im Ergebnis der Integrale ersetzen können:

Und schließlich klären wir v^zwei, angemessen faktorisieren und gruppieren:

Dies ist der Ausdruck, der die Geschwindigkeit in Beziehung setzt v eines Satelliten, der mit Anfangsgeschwindigkeit von der Oberfläche des Planeten (mit Radius R) abgefeuert wurde vo, wenn es in einiger Entfernung ist Y. vom Zentrum des Planeten.

Verweise

1. Haeussler, E. 1992. Mathematik für Management und Wirtschaft. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hyperphysik. Fluchtgeschwindigkeit. Wiederhergestellt von: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Berechnung einer Variablen. 9 .. Auflage. Mcgraw Hügel.
4. Purcell, E. 2007. Kalkül mit analytischer Geometrie. 9 .. Auflage. Pearson Ausbildung.
5. Wolfram MathWorld. Beispiele für Integrale. Wiederhergestellt von: mathworld.wolfram.com.