Das inverse trigonometrische Funktionen, Wie der Name schon sagt, handelt es sich um die entsprechenden Umkehrfunktionen der Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens, Sekanten und Cosekanten..
Inverse trigonometrische Funktionen werden mit demselben Namen wie ihre entsprechende direkte trigonometrische Funktion plus Präfix bezeichnet Bogen. So:
1.- arcsen (x) ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion sen (x)
zwei.- Arccos (x) ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion cos (x)
3.- Arctan (x) ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion also (x)
4.- Arccot (x) ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion Kinderbett (x)
5.- Bogensekunde (x) ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion sec (x)
6.- arccsc (x) ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion csc (x)
Die Funktion θ = Arcsen (x) ergibt einen Einheitsbogen θ (oder Winkel im Bogenmaß θ) so dass sin (θ) = x.
So ist beispielsweise arcsen (√3 / 2) = π / 3, da bekanntlich der Sinus von π / 3 Radiant gleich √3 / 2 ist.
Artikelverzeichnis
Damit eine mathematische Funktion f (x) ein inverses g (x) = f hat-1(x) es ist notwendig, dass diese Funktion ist injektiv, was bedeutet, dass jeder Wert y des Ankunftssatzes der Funktion f (x) von einem und nur einem Wert x stammt.
Es ist klar, dass diese Anforderung von keiner trigonometrischen Funktion erfüllt wird. Beachten Sie zur Verdeutlichung des Punktes, dass der Wert y = 0,5 auf folgende Weise aus der Sinusfunktion erhalten werden kann:
Und vieles mehr, da die Sinusfunktion mit der Periode 2π periodisch ist.
Um die inversen trigonometrischen Funktionen zu definieren, ist es notwendig, den Bereich ihrer entsprechenden direkten trigonometrischen Funktionen so einzuschränken, dass sie die Anforderungen an die Injektivität erfüllen.
Diese eingeschränkte Domäne der direkten Funktion ist der Bereich oder Hauptzweig ihrer entsprechenden inversen Funktion.
Um die Ableitungen der inversen trigonometrischen Funktionen zu erhalten, werden die Eigenschaften der Ableitungen angewendet, insbesondere die Ableitung einer inversen Funktion.
Wenn wir mit f (y) die Funktion und mit f bezeichnen-1(x) zu seiner Umkehrfunktion wird dann die Ableitung der Umkehrfunktion durch die folgende Beziehung mit der Ableitung der direkten Funktion in Beziehung gesetzt:
[F.-1(x)] '= 1 / f' [f-1(x)]
Zum Beispiel: Wenn x = f (y) = √y die direkte Funktion ist, ist ihre Umkehrung
y = f-1(x) = xzwei. Wenden wir die Regel der Ableitung der Umkehrung auf diesen einfachen Fall an, um zu sehen, dass diese Regel tatsächlich erfüllt ist:
[xzwei] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ y-½ = 2 und½ = 2 (xzwei)½ = 2x
Nun, wir können diesen Trick verwenden, um die Ableitungen der inversen trigonometrischen Funktionen zu finden.
Zum Beispiel nehmen wir θ = Arcsen (x) als direkte Funktion wird dann seine Umkehrfunktion sein sin (θ) = x.
[arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sin (θ)zwei) = ...
… = 1 / √ (1 - xzwei) .
Auf diese Weise können alle Ableitungen der inversen trigonometrischen Funktionen erhalten werden, die nachstehend gezeigt sind:
Diese Ableitungen gelten für jedes Argument z, das zu den komplexen Zahlen gehört, und daher auch für jedes reale Argument x, da z = x + 0i.
Finde Arctan (1).
Der Arctan (1) ist der Einheitsbogen (Winkel im Bogenmaß) ፀ, so dass tan (ፀ) = 1. Dieser Winkel ist ፀ = π / 4, weil tan (π / 4) = 1. Also ist Arctan (1) = π / 4.
Berechne Arcsen (cos (π / 3)).
Der Winkel π / 3 Bogenmaß ist ein bemerkenswerter Winkel, dessen Kosinus ½ beträgt. Das Problem besteht also darin, Arcsen (½) zu finden..
Dann geht es darum herauszufinden, welcher Winkel der Sinus ist, der ½ ergibt. Dieser Winkel ist π / 6, da sin (π / 6) = sin (30º) = ½ ist. Daher ist arcsen (cos (π / 3)) = π / 6.
Suchen Sie das Ergebnis des folgenden Ausdrucks:
sec (Arctan (3)) + csc (Arccot (4))
Wir beginnen mit der Benennung von α = Arctan (3) und β = Arccot (4). Dann sieht der Ausdruck, den wir berechnen müssen, so aus:
sec (α) + csc (β)
Der Ausdruck α = Arctan (3) entspricht der Aussage tan (α) = 3.
Da die Tangente das gegenüberliegende Bein über dem benachbarten ist, konstruieren wir ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Bein gegenüber α von 3 Einheiten und einem benachbarten Bein von 1 Einheit, so dass tan (α) = 3/1 = 3 ist.
In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Hypotenuse durch den Satz von Pythagoras bestimmt. Mit diesen Werten ist das Ergebnis √10, so dass:
sec (α) = Hypotenuse / benachbartes Bein = √10 / 1 = √10.
In ähnlicher Weise entspricht β = Arccot (4) der Bestätigung, dass Cot (β) = 4 ist.
Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck neben β von 4 Einheiten und ein gegenüberliegendes Bein von 1 Einheit, so dass cot (β) = 4/1 ist.
Das Dreieck wird sofort vervollständigt, indem seine Hypotenuse dank des Satzes von Pythagoras gefunden wird. In diesem Fall stellte sich heraus, dass √17 Einheiten vorhanden waren. Dann wird csc (β) = Hypotenuse / gegenüberliegendes Bein = √17 / 1 = √17 berechnet.
Denken Sie daran, dass der Ausdruck, den wir berechnen müssen, ist:
sec (Arctan (3)) + csc (Arccot (4)) = sec (α) + csc (β) =…
… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.
Finden Sie die Lösungen von:
Cos (2x) = 1 - Sen (x)
Es ist notwendig, dass alle trigonometrischen Funktionen im selben Argument oder Winkel ausgedrückt werden. Wir werden die Identität des Doppelwinkels verwenden:
Cos (2x) = 1 - 2 Sen.zwei(x)
Dann wird der ursprüngliche Ausdruck reduziert auf:
1 - 2 Sen.zwei(x) = 1 - Sen x
Einmal vereinfacht und berücksichtigt, wird es ausgedrückt als:
sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0
Daraus ergeben sich zwei mögliche Gleichungen: Sen (x) = 0 mit Lösung x = 0 und eine weitere Gleichung sin (x) = ½ mit x = π / 6 als Lösung.
Die Lösungen für die Gleichung sind: x = 0 oder x = π / 6.
Finden Sie die Lösungen der folgenden trigonometrischen Gleichung:
cos (x) = sinzwei(x)
Um diese Gleichung zu lösen, ist es zweckmäßig, nur einen Typ einer trigonometrischen Funktion zu platzieren. Daher verwenden wir die grundlegende trigonometrische Identität, damit die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben wird:
cos (x) = 1 - coszwei(x)
Wenn wir y = cos (x) nennen, kann der Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:
Y.zwei + und - 1 = 0
Es ist eine Gleichung zweiten Grades in y, deren Lösungen sind:
y = (-1 ± √5) / 2
Dann sind die Werte von x, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen ,:
x = Arccos ((-1 ± √5) / 2)
Die wirkliche Lösung ist die mit einem positiven Vorzeichen x = 0,9046 rad = 51,83º.
Die andere Lösung ist komplex: x = (π - 1,06 i) rad.
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