EIN bijektive Funktion ist eine, die die doppelte Bedingung des Seins erfüllt injektiv und surjektiv. Das heißt, alle Elemente der Domäne haben ein einzelnes Bild in der Codomäne, und die Codomäne ist wiederum gleich dem Rang der Funktion ( R.F. ).
Dies wird erreicht, indem eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Elementen der Domäne und der Codomäne betrachtet wird. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion F: R. → R. durch die Linie definiert F (x) = x
Es wird beobachtet, dass für jeden Wert der Domäne oder des Startsatzes (beide Begriffe gelten gleichermaßen) ein einzelnes Bild in der Codomäne oder dem Ankunftssatz vorhanden ist. Außerdem gibt es kein Element der Codomäne, das kein Bild ist.
So F: R. → R. durch die Linie definiert F (x) = x ist bijektiv
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Um dies zu beantworten, müssen die Konzepte, auf die Bezug genommen wird, klar sein Injektivität Y. Surjektivität einer Funktion, zusätzlich zu den Kriterien, um Funktionen zu konditionieren, um sie an die Anforderungen anzupassen.
Eine Funktion ist injektiv wenn jedes der Elemente seiner Domäne mit einem einzelnen Element der Codomäne verwandt ist. Ein Element der Codomäne kann nur das Bild eines einzelnen Elements der Domäne sein. Auf diese Weise können die Werte der abhängigen Variablen nicht wiederholt werden.
Berücksichtigen injektiv Für eine Funktion muss Folgendes erfüllt sein:
∀ x1 ≠ xzwei ⇒ F (x1 ) ≠ F (xzwei )
Eine Funktion wird klassifiziert als surjektiv, wenn jedes Element seiner Codomäne ein Bild von mindestens einem Element der Domäne ist.
Berücksichtigen surjektiv Für eine Funktion muss Folgendes erfüllt sein:
Sein F: D.F. → C.F.
∀ b ℮ C.F. UND zu ℮ D.F. / F (a) = b
Dies ist der algebraische Weg, um festzustellen, dass für jedes "b", das zu C gehörtF. Es gibt ein "a", das zu D gehörtF. so dass die in "a" ausgewertete Funktion gleich "b" ist..
Manchmal eine Funktion, die nicht ist bijektiv, es kann bestimmten Bedingungen ausgesetzt werden. Diese neuen Bedingungen können es zu einem machen bijektive Funktion. Alle Arten von Modifikationen an der Domäne und Codomäne der Funktion sind gültig, wobei das Ziel darin besteht, die Eigenschaften der Injektivität und Surjektivität in der entsprechenden Beziehung zu erfüllen..
Lass die Funktion F: R. → R. durch die Linie definiert F (x) = 5x +1
A: [Alle reellen Zahlen]
Es wird beobachtet, dass für jeden Wert der Domäne ein Bild in der Codomäne vorhanden ist. Dieses Bild ist einzigartig, was macht F. sei ein Injektionsfunktion. In gleicher Weise beobachten wir, dass die Codomäne der Funktion gleich ihrem Rang ist. Damit ist die Bedingung erfüllt Surjektivität.
Wenn wir gleichzeitig injektiv und surjektiv sind, können wir daraus schließen
F: R. → R. durch die Linie definiert F (x) = 5x +1 ist ein bijektive Funktion.
Dies gilt für alle linearen Funktionen (Funktionen, deren größter Grad der Variablen eins ist).
Lass die Funktion F: R. → R. definiert von F (x) = 3xzwei - zwei
Beim Zeichnen einer horizontalen Linie wird beobachtet, dass der Graph mehr als einmal gefunden wird. Aus diesem Grund die Funktion F. es ist nicht injektiv und wird es daher nicht sein bijektiv solange es in definiert ist R. → R.
Ebenso gibt es Werte der Codomäne, die keine Bilder eines Elements der Domäne sind. Aus diesem Grund ist die Funktion nicht surjektiv, was es auch verdient, den Ankunftssatz zu konditionieren.
Wir fahren fort, die Domäne und Codomäne der Funktion zu konditionieren
F: [0 , ∞] → [- zwei , ∞ ]]
Wo beobachtet wird, dass die neue Domäne die Werte von Null bis positive Unendlichkeit umfasst. Vermeiden Sie die Wiederholung von Werten, die die Injektivität beeinflussen.
Ebenso wurde die Codomäne modifiziert, wobei von "-2" bis positiv unendlich gezählt wurde, wobei die Werte, die keinem Element der Domäne entsprachen, aus der Codomäne entfernt wurden
Auf diese Weise kann sichergestellt werden, dass F. : [0 , ∞] → [- zwei , ∞ ]] definiert von F (x) = 3xzwei - zwei
Es ist bijektiv
Lass die Funktion F: R → R. definiert von F (x) = Sen (x)
In der Pause [ -∞ , +∞ ]] Die Sinusfunktion variiert ihre Ergebnisse zwischen Null und Eins.
Die Funktion F. es entspricht nicht den Kriterien der Injektivität und Surjektivität, da die Werte der abhängigen Variablen in jedem Intervall von π wiederholt werden. Auch die Begriffe der Codomäne außerhalb des Intervalls [ -elf ] Sie sind kein Bild eines Elements der Domäne.
Beim Studium des Funktionsgraphen F (x) = Sen (x) Intervalle werden beobachtet, in denen das Verhalten der Kurve die Kriterien von erfüllt Bijektivität. Wie zum Beispiel das Intervall D.F. = [ π / 2,3π / 2 ]] für die Domain. Y. C.F. = [-1, 1] für die Codomäne.
Wenn die Funktion variiert, ergibt sich ein Ergebnis von 1 bis -1, ohne dass ein Wert in der abhängigen Variablen wiederholt wird. Gleichzeitig entspricht die Codomäne den vom Ausdruck angenommenen Werten Sen (x)
Auf diese Weise die Funktion F: [ π / 2,3π / 2 ] → [-1, 1] definiert von F (x) = Sen (x). Es ist bijektiv
Geben Sie die notwendigen Bedingungen für D anF. und CF.. Also der Ausdruck
F (x) = -xzwei bijektiv sein.
Die Wiederholung der Ergebnisse wird beobachtet, wenn die Variable entgegengesetzte Werte annimmt:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Die Domain ist konditioniert und beschränkt sich auf die rechte Seite der realen Linie.
D.F. = [0 , +∞ ]]
In gleicher Weise wird beobachtet, dass der Bereich dieser Funktion das Intervall ist [ -∞ , 0], was als Codomäne die Bedingungen der Surjektivität erfüllt.
Auf diese Weise können wir daraus schließen
Der Ausdruck F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0] definiert von F (x) = -xzwei Es ist bijektiv
Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen bijektiv sind:
F: [0 , ∞) → R. definiert von F (x) = 3 (x + 1)zwei +zwei
F: [ 3π / 2,5π / 2 ] → R. definiert von F (x) = 5 ctg (x)
F: [ -π,π ] → R. definiert von F (x) = Cos (x - 3)
F: R. → R. durch die Linie definiert F (x) = -5x + 4
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