Das mathematische Hoffnung oder erwarteter Wert der zufällige Variable X wird als E (X) bezeichnet und ist definiert als die Summe des Produkts zwischen der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses und dem Wert dieses Ereignisses.
In mathematischer Form wird es wie folgt ausgedrückt:
μ = E (X) = ∑ xich. P (xich) = x1.P (x1) + xzwei.P (xzwei) + x3.P (x3) + ...
Wo xich ist der Wert des Ereignisses und P (xich) seine Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Summation erstreckt sich über alle Werte, die X zulässt. Und wenn diese endlich sind, konvergiert die angegebene Summe gegen den Wert E (X), aber wenn die Summe nicht konvergiert, hat die Variable einfach keinen erwarteten Wert.
Wenn es um eine stetige Variable geht x, Die Variable kann unendlich viele Werte haben und die Integrale ersetzen die Summierungen:
Hier repräsentiert f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Im Allgemeinen entspricht die mathematische Erwartung (die ein gewichteter Durchschnitt ist) nicht dem arithmetischen Mittel oder Durchschnitt, es sei denn, es handelt sich um diskrete Verteilungen, in denen Jedes Ereignis ist gleich wahrscheinlich. Dann und nur dann:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xich
Wobei n die Anzahl der möglichen Werte ist.
Das Konzept ist sehr nützlich auf Finanzmärkten und Versicherungsunternehmen, wo es oft an Sicherheit mangelt, aber es gibt Wahrscheinlichkeiten..
Artikelverzeichnis
Unter den wichtigsten Eigenschaften der mathematischen Erwartung fallen folgende auf:
- Schild: Wenn X positiv ist, ist es auch E (X).
- Erwarteter Wert einer Konstante: der erwartete Wert einer reellen Konstante k ist die Konstante.
E (k) = k
- Linearität in der Summe: Die Erwartung einer Zufallsvariablen, die wiederum die Summe zweier Variablen X und Y ist, ist die Summe der Erwartungen.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Multiplikation mit einer Konstanten: wenn die Zufallsvariable die Form hat kX, wo k ist eine Konstante (eine reelle Zahl), die außerhalb des erwarteten Wertes liegt.
E (kX) = k E (X)
- Erwarteter Wert des Produkts und Unabhängigkeit zwischen Variablen: wenn eine Zufallsvariable das Produkt der Zufallsvariablen X und Y ist, die unabhängig sind, dann ist der erwartete Wert des Produkts das Produkt der erwarteten Werte.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Zufallsvariable des Formulars Y = aX + b: gefunden durch Anwenden der vorherigen Eigenschaften.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Im Allgemeinen ja Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xich). P [g (xich)]
- Bestellung zum erwarteten Wert: wenn X ≤ Y, dann:
E (X) ≤ E (Y)
Da gibt es die erwarteten Werte von jedem von ihnen.
Als der berühmte Astronom Christian Huygens (1629-1695) den Himmel nicht beobachtete, widmete er sich unter anderem der Untersuchung der Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen. Er war es, der das Konzept der mathematischen Hoffnung in seiner Arbeit von 1656 mit dem Titel einführte: Überlegungen zum Glücksspiel.
Huygens stellte fest, dass Wetten basierend auf dem erwarteten Wert auf drei Arten klassifiziert werden können:
-Vorteilsspiele: E (X)> 0
-Faire Wetten: E (X) = 0
-Handicap-Spiel: E (X) < 0
Das Problem ist, dass in einem Glücksspiel die mathematische Erwartung nicht immer einfach zu berechnen ist. Und wenn Sie können, ist das Ergebnis manchmal enttäuschend für diejenigen, die sich fragen, ob sie wetten sollen oder nicht.
Versuchen wir eine einfache Wette: Kopf oder Zahl und der Verlierer zahlt einen Kaffee im Wert von 1 USD. Was ist der erwartete Wert dieser Wette??
Nun, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kopf gerollt wird, beträgt ½, was einem Schwanz entspricht. Die Zufallsvariable besteht darin, 1 $ zu gewinnen oder 1 $ zu verlieren. Der Gewinn wird mit + Vorzeichen und der Verlust durch Vorzeichen bezeichnet -.
Wir organisieren die Informationen in einer Tabelle:
Wir multiplizieren die Werte der Spalten: 1. ½ = ½ und (-1). ½ = -½ und schließlich werden die Ergebnisse addiert. Die Summe ist 0 und es ist ein faires Spiel, bei dem von den Teilnehmern erwartet wird, dass sie weder gewinnen noch verlieren.
Französisches Roulette und Lotterie sind Handicap-Spiele, bei denen die meisten Wetter verlieren. Später gibt es eine etwas komplexere Wette im Abschnitt über gelöste Übungen.
Hier sind einige einfache Beispiele, bei denen das Konzept der mathematischen Erwartung intuitiv ist und das Konzept verdeutlicht:
Wir werden damit beginnen, einen ehrlichen Würfel zu werfen. Was ist der erwartete Wert des Starts? Wenn der Würfel ehrlich ist und 6 Köpfe hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert (X = 1, 2, 3… 6) würfelt, 1/6, wie folgt:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Der erwartete Wert ist in diesem Fall gleich dem Durchschnitt, da jedes Gesicht die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, herauszukommen. Aber E (X) ist kein möglicher Wert, da keine Köpfe 3,5 wert sind. Dies ist in einigen Distributionen durchaus möglich, obwohl in diesem Fall das Ergebnis dem Wetter nicht viel hilft..
Sehen wir uns ein weiteres Beispiel mit dem Werfen von zwei Münzen an.
Zwei ehrliche Münzen werden in die Luft geworfen und wir definieren die Zufallsvariable X als die Anzahl der Köpfe, die gewürfelt werden. Folgende Ereignisse können auftreten:
-Es kommen keine Köpfe hoch: 0 Köpfe, was 2 Schwänzen entspricht.
-Gibt 1 Kopf und 1 Schwanz oder Schwanz zurück.
-2 Gesichter kommen heraus.
Sei C ein Kopf und T ein Siegel, der Probenraum, der diese Ereignisse beschreibt, ist wie folgt:
S.m = Siegel-Siegel; Siegelgesicht; Gesichtsversiegelung; Gesicht-Gesicht = TT, TC, CT, CC
Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse sind:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Die Tabelle wird mit den erhaltenen Werten erstellt:
Gemäß der zu Beginn gegebenen Definition wird die mathematische Erwartung wie folgt berechnet:
μ = E (X) = ∑ xich. P (xich) = x1.P (x1) + xzwei.P (xzwei) + x3.P (x3) + ...
Werte ersetzen:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Dieses Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn eine Person genug Zeit hat, um eine große Anzahl von Experimenten durch Umwerfen der beiden Münzen durchzuführen, wird erwartet, dass sie bei jedem Umdrehen einen Kopf bekommt..
Wir wissen jedoch, dass Veröffentlichungen mit 2 Labels durchaus möglich sind..
Beim Werfen von zwei ehrlichen Münzen wird die folgende Wette abgeschlossen: Wenn 2 Köpfe herauskommen, werden 3 $ gewonnen, wenn 1 Kopf herauskommt, wird 1 $ gewonnen, aber wenn zwei Briefmarken herauskommen, müssen 5 $ ausgezahlt werden. Berechnen Sie den erwarteten Gewinn der Wette.
Die Zufallsvariable X ist der Wert, den das Geld für die Wette annimmt, und die Wahrscheinlichkeiten wurden im vorherigen Beispiel berechnet. Daher lautet die Tabelle der Wette:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Da der erwartete Wert 0 ist, ist es ein faires Spiel, daher wird hier erwartet, dass der Wetter nicht gewinnt und auch nicht verliert. Die Wettbeträge können jedoch geändert werden, um die Wette zu einem Handicap-Spiel oder einem Handicap-Spiel zu machen..
Bisher hat noch niemand einen Kommentar zu diesem Artikel abgegeben.