Das Kongruenz, In der Geometrie wird darauf hingewiesen, dass zwei ebene Figuren, die dieselbe Form und dieselben Abmessungen haben, kongruent sind. Beispielsweise sind zwei Segmente kongruent, wenn ihre Längen gleich sind. Ebenso haben kongruente Winkel das gleiche Maß, obwohl sie in der Ebene nicht auf die gleiche Weise ausgerichtet sind..
Der Begriff "Kongruenz" stammt aus dem Lateinischen kongruent, deren Bedeutung ist Korrespondenz. Somit entsprechen zwei kongruente Zahlen genau einander..
Wenn wir zum Beispiel die beiden Vierecke im Bild überlagern, werden wir feststellen, dass sie kongruent sind, da die Anordnung ihrer Seiten identisch ist und sie gleich messen.
Wenn Sie die Vierecke ABCD und A'B'C'D 'übereinander legen, stimmen die Zahlen genau überein. Die passenden Seiten werden aufgerufen homologe Seiten oder entsprechend und um die Kongruenz auszudrücken, wird das Symbol ≡ verwendet. Dann können wir sagen, dass ABCD ≡ A'B'C'D '.
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Die folgenden Merkmale sind kongruenten Polygonen gemeinsam:
-Gleiche Form und Größe.
-Identische Maße ihrer Winkel.
-Das gleiche Maß auf jeder Seite.
Für den Fall, dass zwei fragliche Polygone regelmäßig sind, dh dass alle Seiten und Innenwinkel gleich sind, ist die Kongruenz gewährleistet, wenn sie erfüllt ist etwas der folgenden Bedingungen:
-Die Seiten sind kongruent
-Das Apotheme Sie haben das gleiche Maß
-Das Radio jedes Polygons misst gleich
Das Apothem eines regelmäßigen Polygons ist der Abstand zwischen der Mitte und einer der Seiten, während der Radius dem Abstand zwischen der Mitte und einem Scheitelpunkt oder einer Ecke der Figur entspricht.
Kongruenzkriterien werden häufig verwendet, da so viele Teile und Stücke aller Art in Massenproduktion hergestellt werden und die gleiche Form und Maße haben müssen. Auf diese Weise können sie bei Bedarf leicht ausgetauscht werden, z. B. Muttern, Bolzen, Bleche oder die Pflastersteine auf dem Boden auf der Straße..
Es gibt zum Beispiel geometrische Konzepte im Zusammenhang mit Kongruenz identische Figuren und der ähnliche Zahlen, das bedeutet nicht unbedingt, dass die Zahlen kongruent sind.
Beachten Sie, dass die kongruenten Figuren identisch sind, die Vierecke in Abbildung 1 jedoch in der Ebene unterschiedlich ausgerichtet sein können und dennoch kongruent bleiben, da die unterschiedliche Ausrichtung weder die Größe ihrer Seiten noch ihre Winkel ändert. In diesem Fall würden sie nicht mehr identisch sein.
Das andere Konzept ist das der Ähnlichkeit von Figuren: Zwei ebene Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben und ihre Innenwinkel dieselbe messen, obwohl die Größe der Figuren unterschiedlich sein kann. In diesem Fall sind die Zahlen nicht kongruent.
Wie wir am Anfang angedeutet haben, haben kongruente Winkel das gleiche Maß. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um kongruente Winkel zu erhalten:
Zwei Linien mit einem gemeinsamen Punkt definieren zwei Winkel, die als bezeichnet werden Gegenüberliegende Winkel durch den Scheitelpunkt. Diese Winkel haben das gleiche Maß, daher sind sie kongruent.
Es gibt zwei parallele Linien plus eine Linie t das schneidet sie beide. Wie im vorherigen Beispiel erzeugt diese Linie, wenn sie die Parallelen schneidet, kongruente Winkel, einen auf jeder Linie auf der rechten Seite und zwei auf der linken Seite. Die Figur zeigt α und α1, rechts von der Linie t, das sind kongruent.
In einem Parallelogramm gibt es vier Innenwinkel, die zwei bis zwei kongruent sind. Dies sind diejenigen, die sich zwischen entgegengesetzten Eckpunkten befinden, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, in der die beiden Winkel in Grün kongruent sind, sowie die beiden Winkel in Rot.
Zwei Dreiecke gleicher Form und Größe sind kongruent. Um dies zu überprüfen, gibt es drei Kriterien, die auf der Suche nach Kongruenz untersucht werden können:
-Kriterium LLL: Die drei Seiten der Dreiecke haben die gleichen Maße, daher L.1 = L '1;; L.zwei = L 'zwei und ich3 = L '3.
-ALA- und AAL-Kriterien: Dreiecke haben zwei gleiche Innenwinkel und die Seite zwischen diesen Winkeln hat das gleiche Maß.
-LAL-Kriterium: Zwei der Seiten sind identisch (entsprechend) und zwischen ihnen gibt es den gleichen Winkel.
In der folgenden Abbildung sind zwei Dreiecke dargestellt: ΔABC und ΔECF. Es ist bekannt, dass AC = EF, AB = 6 und CF = 10. Außerdem sind die Winkel ∡BAC und ∡FEC kongruent und die Winkel ∡ACB und ∡FCB sind ebenfalls kongruent..
Dann ist die Länge des Segments BE gleich:
(i) 5
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 2
(v) 6
Da die beiden Dreiecke eine Seite gleicher Länge AC = EF haben, die zwischen den gleichen Winkeln ∡BAC = ∡CEF und ∡BCA = ∡CFE liegt, kann gesagt werden, dass die beiden Dreiecke nach dem ALA-Kriterium kongruent sind.
Das heißt, ΔBAC ≡ ΔCEF, also müssen wir:
BA = CE = AB = 6
BC = CF = 10
AC = EF
Das zu berechnende Segment ist jedoch BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.
Die richtige Antwort lautet also (iii).
In der folgenden Abbildung sind drei Dreiecke dargestellt. Es ist auch bekannt, dass die beiden angegebenen Winkel jeweils 80º messen und dass die Segmente AB = PD und AP = CD sind. Finden Sie den Wert des in der Abbildung angegebenen Winkels X..
Sie müssen die Eigenschaften der Dreiecke anwenden, die Schritt für Schritt detailliert beschrieben werden.
Ausgehend vom LAL-Dreieckskongruenzkriterium kann festgestellt werden, dass die BAP- und PDC-Dreiecke kongruent sind:
ΔBAP ≡ ΔPDC
Das Obige führt zu der Bestätigung, dass BP = PC ist, daher ist das Dreieck ΔBPC gleichschenklig und ∡PCB = ∡PBC = X..
Wenn wir den Winkel BPC γ nennen, folgt daraus:
2x + γ = 180º
Und wenn wir die Winkel APB und DCP β und α die Winkel ABP und DPC nennen, haben wir:
α + β + γ = 180º (da APB ein ebener Winkel ist).
Weiterhin ist α + β + 80º = 180º durch Summe der Innenwinkel des Dreiecks APB.
Wenn wir all diese Ausdrücke kombinieren, haben wir:
α + β = 100º
Und deshalb:
γ = 80º.
Schließlich folgt daraus:
2X + 80º = 180º
Mit X = 50º.
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