Das Poisson-Verhältnis Es ist eine dimensionslose Größe, die für jedes Material charakteristisch ist. Es ist ein Hinweis auf die Verformung eines Materialstücks vor dem Aufbringen bestimmter Kräfte.
Wenn ein Materialstück, das einer Spannung oder Kompression ausgesetzt ist, eine Verformung erfährt, ist der Quotient zwischen der Querverformung und der Längsverformung genau das Poisson-Verhältnis.
Beispielsweise dehnt sich ein Gummizylinder, der an seinen Enden belastet ist, in Längsrichtung aus, verengt sich jedoch quer. Abbildung 1 zeigt einen Stab mit den ursprünglichen Abmessungen: Länge L und Durchmesser D..
Die Stange wird an ihren Enden einer Spannung T ausgesetzt, und als Folge dieser Spannung wird sie gedehnt, so dass die neue Länge L '> L ist. Wenn sie jedoch gedehnt wird, verengt sich ihr Durchmesser auch auf den neuen Wert: D'. < D.
Der Quotient zwischen der Dehnung (positiv) und der Verengung (negativ) multipliziert mit (-1) ist eine positive Zahl zwischen 0 und 0,5. Diese Zahl ist das sogenannte Poisson-Verhältnis ν (griechischer Buchstabe nu).
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Um das Poisson-Verhältnis zu berechnen, muss die Längs- und Querdehnung bestimmt werden.
Die Längsdehnung εL. ist die Strecke geteilt durch die ursprüngliche Länge:
εL. = (L '- L) / L.
In ähnlicher Weise ist die Querdehnung & epsi;T. ist die radiale Verjüngung geteilt durch den ursprünglichen Durchmesser:
εT. = (D '- D) / D.
Daher wird das Poisson-Verhältnis unter Verwendung der folgenden Formel berechnet:
ν = - εT. / εL.
Das Poisson-Verhältnis ν hängt mit dem Modul zusammen UND Elastizität (oder Elastizitätsmodul) und mit dem Steifigkeitsmodul G, mit der folgenden Formel:
ν = E / (2G) - 1
Eine Stange aus einem bestimmten Kunststoff hat eine Länge von 150 mm und einen kreisförmigen Querschnitt von 20 mm Durchmesser. Bei einer Druckkraft F von 612,25 kg-f wird eine Verkürzung von 14 mm und gleichzeitig eine Zunahme des Stabdurchmessers um 0,85 mm beobachtet.
Berechnung:
a) Längsdehnung.
b) Die Querdehnung.
c) Das Poisson-Verhältnis dieses Materials.
d) Elastizitätsmodul von Young entsprechend dem Material.
e) Der Steifigkeitsmodul für diesen Kunststoff.
Es sei daran erinnert, dass die Längsdehnung εL die Dehnung geteilt durch die ursprüngliche Länge ist:
εL = (L '- L) / L.
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933
Es ist zu beachten, dass die Längsdehnung dimensionslos ist und in diesem Fall negativ war, weil sich ihre Längsabmessung verringert hat.
In ähnlicher Weise ist die Querdehnung & egr; T die radiale Verjüngung, geteilt durch den ursprünglichen Durchmesser:
εT = (D '- D) / D.
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
Die Querdehnung war positiv, da der Durchmesser der Stange zugenommen hat.
Für die Berechnung des Poisson-Verhältnisses müssen wir uns daran erinnern, dass es als das Negative des Quotienten zwischen der Querverformung und der Längsverformung definiert ist:
ν = - εT / εL
ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Es ist zu beachten, dass das Poisson-Verhältnis eine positive dimensionslose Zahl ist und für die meisten Materialien zwischen 0 und 0,5 liegt.
Der Elastizitätsmodul von Young, der mit dem Buchstaben E bezeichnet wird, ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Durch E ist die Normalspannung & sgr; L wie folgt mit der Dehnung & egr; L verbunden:
σL = E εL
Die Normalspannung ist definiert als der Quotient zwischen der Normalkraft (in diesem Fall parallel zur Stabachse) und der Querschnittsfläche:
σL = F / A = F / (π / 4 · D ^ 2)
In dieser Übung beträgt die Kraft F 612,25 kg-f, die in Newton umgerechnet werden muss. Dies ist die SI-Krafteinheit:
F = 612,25 kg-f = 612,25 · 9,8 N = 6000 N = 6 kN
Der Querschnitt der Fläche A beträgt seinerseits:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2
Schließlich ist die normale Belastung, die auf die Stange ausgeübt wird:
σL = F / A = 6000 N / 3,1416 · 10 & supmin; & sup4; m & supmin; ² = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa
Um den Elastizitätsmodul von Young zu berechnen, lösen wir für E aus dem Hookeschen Gesetz σL = E εL:
E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
Der Steifigkeitsmodul G hängt durch diese Formel mit dem Elastizitätsmodul E und dem Poisson-Verhältnis ν zusammen:
E / (2 G) = 1 + ν
Von dort aus können Sie nach G lösen:
G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa
Es gibt ein Kupferkabel mit einem Durchmesser von 4 mm und einer Länge von 1 m. Wenn Sie wissen, dass der Elastizitätsmodul von Kupfer 110.000 beträgt und das Poisson-Verhältnis 0,34 beträgt, schätzen Sie die Dehnung und Verengung des Durchmessers, die der Draht erfährt, wenn ein Gewicht von 100 kg-f daran aufgehängt wird..
Zunächst muss die normale Zugspannung, die das Gewicht auf den Draht ausübt, nach folgender Formel berechnet werden:
σL = F / A = F / (π / 4 · D ^ 2)
Die Kraft F beträgt 980 N und die Querschnittsfläche beträgt:
A = (π / 4 · D & sub2;) = (3,1416 / 4) · (4 · 10 & supmin; ³ m) & supmin; ² = 1,2566 · 10 & supmin; & sup5; m & supmin; ²
Dann ist die Zugspannung:
σL = 980 N / 1,2566 · 10 & supmin; & sup5; m & supmin; ² = 77,986,000 Pa
Der Elastizitätsmodul von Young, der mit dem Buchstaben E bezeichnet wird, ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz, die die Normalspannung σL mit der Dehnung εL in Beziehung setzt:
σL = E εL
Von dort kann die Längsdehnung des Kupferdrahtes gelöst werden:
εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 · 10 & supmin; & sup4;
Um die Querdehnung zu kennen, wird andererseits das Poisson-Verhältnis angewendet:
ν = - εT / εL
Schließlich haben wir, dass die Querdehnung ist:
εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4
Um die absolute Dehnung des Kabels zu ermitteln, muss die folgende Beziehung angewendet werden:
ΔL = εL * L = 7,09 · 10 & supmin; & sup4; · 1 m = 7,09 · 10 & supmin; & sup4; m = 0,709 mm
Das heißt, mit diesem Gewicht dehnte sich das Kabel kaum um 0,709 Millimeter.
Um die absolute Schrumpfung des Durchmessers zu erhalten, verwenden wir die folgende Formel:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 Millimeter.
Diese Verengung des Durchmessers ist so gering, dass sie mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist, selbst für die Messung ist ein hochpräzises Instrument erforderlich..
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