Die Haupt Klassifikation von reellen Zahlen es ist unterteilt in natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen. Reelle Zahlen werden durch den Buchstaben R dargestellt.
Es gibt viele Möglichkeiten, wie die verschiedenen reellen Zahlen konstruiert oder beschrieben werden können, von einfacheren bis zu komplexeren Formen, abhängig von der durchzuführenden mathematischen Arbeit..
Die natürlichen Zahlen werden durch den Buchstaben (n) dargestellt und sind diejenigen, die zum Zählen verwendet werden (0,1,2,3,4…). Zum Beispiel „gibt es fünfzehn Rosen im Garten "," Die Bevölkerung von Mexiko ist 126 Millionen von Menschen “oder„ Die Summe von zwei Y. zwei es ist vier". Es ist zu beachten, dass einige Klassifikationen 0 als natürliche Zahl enthalten und andere nicht..
Natürliche Zahlen enthalten keine Dezimalzahlen. Deshalb: „Die Bevölkerung Mexikos ist 126.2 Millionen von Menschen "oder" Es macht eine Temperatur von 24.5 Grad Celsius “konnte nicht als natürliche Zahl angesehen werden.
Im allgemeinen Sprachgebrauch, wie zum Beispiel in Grundschulen, können natürliche Zahlen als Zählzahlen bezeichnet werden, um negative ganze Zahlen und Null auszuschließen..
Natürliche Zahlen sind die Grundlagen, auf denen viele andere Sätze von Zahlen durch Erweiterung aufgebaut werden können: unter anderem ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen..
Die Eigenschaften natürlicher Zahlen wie die Teilbarkeit und Verteilung von Primärzahlen werden in der Zahlentheorie untersucht. Probleme im Zusammenhang mit dem Zählen und Ordnen wie Aufzählungen und Partitionierung werden in der Kombinatorik untersucht.
Sie haben verschiedene Eigenschaften wie: Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division usw..
Natürliche Zahlen können Ordnungszahlen oder Kardinalzahlen sein.
Die Kardinalzahlen wären diejenigen, die als natürliche Zahlen verwendet werden, wie wir zuvor in den Beispielen erwähnt haben. "Ich habe zwei Kekse "," Ich bin der Vater von drei Kinder "," Die Box enthält zwei Geschenkcremes ".
Ordnungszahlen sind solche, die Ordnung ausdrücken oder eine Position angeben. Zum Beispiel wird in einem Rennen die Reihenfolge der Ankunft der Läufer aufgelistet, beginnend mit dem Sieger und endend mit dem letzten, der die Ziellinie erreicht hat..
Auf diese Weise wird gesagt, dass der Gewinner der "Erste", der Nächste der "Zweite", der Nächste der "Dritte" usw. bis zum letzten ist. Diese Zahlen können zur Vereinfachung des Schreibens durch einen Buchstaben im oberen rechten Teil dargestellt werden (1., 2., 3., 4. usw.)..
Die ganzen Zahlen bestehen aus diesen natürlichen Zahlen und ihren Gegensätzen, dh den negativen Zahlen (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Wie die natürlichen Zahlen enthalten auch diese nicht diejenigen, die einen Dezimalteil haben.
Ein Beispiel für ganze Zahlen wäre "vor durchschnittlich 30º in Deutschland", "Ich war Ende des Monats bei 0", "Um in den Keller zu gelangen, müssen Sie die -1-Taste des Aufzugs drücken.".
Ganze Zahlen können wiederum nicht mit einer Bruchkomponente geschrieben werden. Zum Beispiel sind Zahlen wie 8.58 oder √2 keine ganzen Zahlen.
Ganze Zahlen werden durch den Buchstaben (Z) dargestellt. Z ist eine Teilmenge der Gruppe der rationalen Zahlen Q, die wiederum die Gruppe der reellen Zahlen R bilden. Wie natürliche Zahlen ist Z eine unendlich zählbare Gruppe.
Die ganzen Zahlen bilden die kleinste Gruppe und die kleinste Menge der natürlichen Zahlen. In der algebraischen Zahlentheorie werden Ganzzahlen manchmal als irrationale Ganzzahlen bezeichnet, um sie von algebraischen Ganzzahlen zu unterscheiden..
Die Menge der rationalen Zahlen wird durch den Buchstaben (Q) dargestellt und enthält alle Zahlen, die als Bruchteil ganzer Zahlen geschrieben werden können.
Das heißt, dieser Satz enthält natürliche Zahlen (4/1), ganze Zahlen (-4/1) und exakte Dezimalzahlen (15,50 = 1550/100)..
Die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl endet immer nach einer endlichen Anzahl von Ziffern (Beispiel: 15,50) oder wenn sich dieselbe endliche Folge von Ziffern immer wieder zu wiederholen beginnt (Beispiel: 0,3456666666666666…). Daher sind in der Menge der rationalen Zahlen Zahlen enthalten. reine Zeitungen oder gemischte Zeitungen.
Zusätzlich repräsentiert jede wiederholte oder terminale Dezimalstelle eine rationale Zahl. Diese Aussagen gelten nicht nur für Basis 10, sondern auch für jede andere ganzzahlige Basis.
Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, heißt irrational. Zu den irrationalen Zahlen gehören beispielsweise √2, π und e. Da der gesamte Satz rationaler Zahlen zählbar ist und die Gruppe der reellen Zahlen nicht zählbar ist, kann gesagt werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind..
Rationale Zahlen können formal als Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen (p, q) definiert werden, so dass q ≠ 0 oder die durch (p1, q1) (p2, q2) definierte äquivalente Beziehung nur dann ist, wenn p1, q2 = p2q1.
Rationale Zahlen bilden zusammen mit Addition und Multiplikation Felder, die Ganzzahlen bilden und in jedem Zweig enthalten sind, der Ganzzahlen enthält..
Irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind. irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden. Rationale Zahlen sind Zahlen, die aus Brüchen ganzer Zahlen bestehen.
Als Folge von Cantors Beweis, dass alle reellen Zahlen unzählbar und rationale Zahlen zählbar sind, kann geschlossen werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.
Wenn der Längenradius zweier Liniensegmente eine irrationale Zahl ist, kann gesagt werden, dass diese Liniensegmente nicht vergleichbar sind; Dies bedeutet, dass es keine ausreichende Länge gibt, so dass jede von ihnen mit einer bestimmten Mehrzahl derselben "gemessen" werden kann.
Unter den irrationalen Zahlen befinden sich der Radius π eines Kreisumfangs zu seinem Durchmesser, die Eulernummer (e), die goldene Zahl (φ) und die Quadratwurzel von zwei; Darüber hinaus sind alle Quadratwurzeln natürlicher Zahlen irrational. Die einzige Ausnahme von dieser Regel sind perfekte Quadrate..
Es kann beobachtet werden, dass irrationale Zahlen, wenn sie in einem Zahlensystem positionell ausgedrückt werden (wie zum Beispiel in Dezimalzahlen), nicht enden oder wiederholt werden.
Dies bedeutet, dass sie keine Ziffernfolge enthalten, die Wiederholung, mit der eine Zeile der Darstellung erstellt wird.
Beispiel: Die Dezimaldarstellung der Zahl π beginnt mit 3.14159265358979, es gibt jedoch keine endliche Anzahl von Ziffern, die π genau darstellen können, und sie können auch nicht wiederholt werden.
Der Beweis, dass die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl enden oder sich wiederholen muss, unterscheidet sich vom Beweis, dass eine Dezimalerweiterung eine rationale Zahl sein muss; Obwohl diese Tests einfach und etwas langwierig sind, erfordern sie einige Arbeit.
Mathematiker verwenden normalerweise nicht den Begriff "Beenden oder Wiederholen", um das Konzept einer rationalen Zahl zu definieren..
Irrationale Zahlen können auch über nicht kontinuierliche Fraktionen behandelt werden.
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