Vektoreigenschaften und -eigenschaften, Elemente, Typen, Beispiele

Das Vektor Es handelt sich um mathematische Einheiten mit einer positiven Größe, die im Allgemeinen von einer Maßeinheit sowie von Richtung und Sinn begleitet wird. Solche Eigenschaften sind sehr gut geeignet, um physikalische Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung und vieles mehr zu beschreiben..

Mit Vektoren ist es möglich, Operationen wie Addition, Subtraktion und Produkte durchzuführen. Die Division ist für Vektoren nicht definiert, und für das Produkt gibt es drei Klassen, die wir später beschreiben werden: Punktprodukt oder Punkt, Vektorprodukt oder Kreuz und Produkt eines Skalars durch einen Vektor.

Um einen Vektor vollständig zu beschreiben, müssen alle seine Eigenschaften angegeben werden. Die Größe oder das Modul ist ein numerischer Wert, der von einer Einheit begleitet wird, während die Richtung und Richtung mit Hilfe eines Koordinatensystems festgelegt werden.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Nehmen wir an, ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 850 km / h in nordöstlicher Richtung von einer Stadt in eine andere. Hier haben wir einen vollständig spezifizierten Vektor, da die Größe verfügbar ist: 850 km / h, während die Richtung und der Sinn NE sind.

Vektoren werden normalerweise grafisch durch orientierte Liniensegmente dargestellt, deren Länge proportional zur Größe ist.

Um die Richtung und den Sinn festzulegen, ist eine Referenzlinie erforderlich, die normalerweise die horizontale Achse ist. Obwohl auch Norden als Referenz verwendet werden kann, ist dies bei der Geschwindigkeit der Ebene der Fall:

Die Figur zeigt den Geschwindigkeitsvektor der Ebene, der als bezeichnet wird v auf Fett gedruckt, um es von einer skalaren Größe zu unterscheiden, für die nur ein numerischer Wert und eine bestimmte Einheit angegeben werden müssen.

Artikelverzeichnis

• 1 Elemente eines Vektors
  • 1.1 Rechteckige Komponenten eines Vektors
• 2 Arten
  • 2.1 Orthogonale Einheitsvektoren
• 3 Summe der Vektoren
  • 3.1 Eigenschaften der Vektoraddition
• 4 Vektorbeispiele
• 5 Andere Operationen zwischen Vektoren
  • 5.1 Produkt eines Skalars und eines Vektors
  • 5.2 Skalarprodukt oder Punktprodukt zwischen Vektoren
  • 5.3 Kreuzprodukt oder Kreuzprodukt zwischen Vektoren
• 6 Gelöste Übungen
  • 6.1 - Übung 1
  • 6.2 - Übung 2
• 7 Referenzen

Elemente eines Vektors

Wie gesagt, die Elemente des Vektors sind:

-Größe oder Modul, manchmal auch als absoluter Wert oder Norm des Vektors bezeichnet.

-Richtung

-Sinn

Im Beispiel in Abbildung 2 das Modul v Es ist 850 km / h. Der Modul wird als v ohne Fettdruck oder als | bezeichnetv|, wobei die Balken den absoluten Wert darstellen.

Die Adresse von v ist in Bezug auf den Norden angegeben. In diesem Fall ist es 45º nördlich von Osten (45º NE). Schließlich informiert die Pfeilspitze über die Richtung von v.

In diesem Beispiel wurde der Ursprung des Vektors in Übereinstimmung mit dem Ursprung O des Koordinatensystems gezeichnet. Dies ist bekannt als gebundener Vektor. Wenn andererseits der Ursprung des Vektors nicht mit dem des Referenzsystems übereinstimmt, spricht man von a freier Vektor.

Es ist zu beachten, dass diese drei Elemente zur vollständigen Angabe des Vektors notiert werden müssen, da sonst die Beschreibung des Vektors unvollständig wäre.

Rechteckige Komponenten eines Vektors

Im Bild haben wir unseren Beispielvektor zurück v, das ist im Flugzeug xy.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Projektionen von v auf die x- und y-Koordinatenachse ein rechtwinkliges Dreieck bestimmen. Diese Projektionen sind v_Y. Y. v_x und werden rechteckige Komponenten von genannt v.

Ein Weg zu bezeichnen v durch seine rechteckigen Komponenten ist wie folgt: v = x, v_Y.>. Diese Klammern werden anstelle von Klammern verwendet, um die Tatsache hervorzuheben, dass es sich um einen Vektor und nicht um einen Punkt handelt, da in diesem Fall Klammern verwendet würden.

Befindet sich der Vektor im dreidimensionalen Raum, wird eine weitere Komponente benötigt, so dass:

v = x, v_Y., v_z>

Bei Kenntnis der rechteckigen Komponenten wird die Größe des Vektors berechnet, was dem Ermitteln der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks entspricht, dessen Beine es sind v_x Y. v_Y.,. Mit dem Satz von Pythagoras folgt:

|v|^zwei = (v_x)^zwei +  (v_Y.)^zwei

Polare Form eines Vektors

Wenn die Größe des Vektors bekannt ist |v| und der Winkel & thgr;, den dies mit der Referenzachse bildet, im Allgemeinen der horizontalen Achse, der Vektor wird ebenfalls spezifiziert. Der Vektor soll dann in polarer Form ausgedrückt werden.

Die rechteckigen Komponenten sind in diesem Fall leicht zu berechnen:

v_x = |v| .cos θ

v_Y. = |v| .sen θ

Demnach sind die rechteckigen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v des Flugzeugs wäre:

v_x = 850. cos 45º km / h = 601,04 km / h

v_Y. = 850. sin 45º km / h = 601,04 km / h

Typen

Es gibt verschiedene Arten von Vektoren. Es gibt Vektoren für Geschwindigkeit, Position, Verschiebung, Kraft, elektrisches Feld, Impuls und vieles mehr. Wie wir bereits gesagt haben, gibt es in der Physik eine große Anzahl von Vektorgrößen.

Für Vektoren mit bestimmten Eigenschaften können die folgenden Arten von Vektoren erwähnt werden:

-Null: Dies sind Vektoren, deren Größe 0 ist und die als bezeichnet werden 0. Denken Sie daran, dass der fette Buchstabe die drei grundlegenden Merkmale eines Vektors symbolisiert, während der normale Buchstabe nur das Modul darstellt.

Beispielsweise muss bei einem Körper im statischen Gleichgewicht die Summe der Kräfte ein Nullvektor sein.

-Frei und gebunden: Freie Vektoren sind solche, deren Ursprungs- und Ankunftspunkte ein beliebiges Punktpaar in der Ebene oder im Raum sind, im Gegensatz zu verknüpften Vektoren, deren Ursprung mit dem des Referenzsystems übereinstimmt, mit dem sie beschrieben wurden.

Das Paar oder Moment, das von einigen Kräften erzeugt wird, ist ein gutes Beispiel für einen freien Vektor, da das Paar nicht auf einen bestimmten Punkt zutrifft.

-Teamlinsen: Sie sind zwei freie Vektoren, die identische Eigenschaften aufweisen. Daher haben sie die gleiche Größe, Richtung und den gleichen Sinn.

-Koplanar oder koplanar: Vektoren, die zur gleichen Ebene gehören.

-Gegensätze: Vektoren mit gleicher Größe und Richtung, aber entgegengesetzten Richtungen. Der Vektor gegenüber einem Vektor v ist der Vektor -v und die Summe von beiden ist der Nullvektor: v + ((-v) = 0.

-Gleichzeitig: Vektoren, deren Wirkungslinien alle durch denselben Punkt verlaufen.

-Schieberegler: sind diejenigen Vektoren, deren Anwendungspunkt entlang einer bestimmten Linie gleiten kann.

-Kollinear: Vektoren, die sich auf derselben Linie befinden.

-Einheitlich: jene Vektoren, deren Modul 1 ist.

Orthogonale Einheitsvektoren

In der Physik gibt es einen sehr nützlichen Vektortyp, der als orthogonaler Einheitsvektor bezeichnet wird. Der orthogonale Einheitsvektor hat ein Modul gleich 1 und die Einheiten können beliebig sein, beispielsweise die von Geschwindigkeit, Position, Kraft oder anderen.

Es gibt eine Reihe spezieller Vektoren, mit deren Hilfe andere Vektoren leicht dargestellt und Operationen an ihnen ausgeführt werden können: Es handelt sich um orthogonale Einheitsvektoren ich, j Y. k, einheitlich und senkrecht zueinander.

In zwei Dimensionen sind diese Vektoren entlang der positiven Richtung beider Achsen gerichtet x ab der Achse Y.. Und in drei Dimensionen wird ein Einheitsvektor in Richtung der Achse hinzugefügt z positiv. Sie werden wie folgt dargestellt:

ich = <1, 0,0>

j = < 0,1,0>

k = <0,0,1>

Ein Vektor kann durch die Einheitsvektoren dargestellt werden ich, j Y. k wie folgt:

v = v_x ich + v_Y. j + v_z k

Zum Beispiel der Geschwindigkeitsvektor v Aus den obigen Beispielen kann geschrieben werden als:

v = 601,04 ich + 601.04 j km / h

Die Komponente in k ist nicht notwendig, da dieser Vektor in der Ebene liegt.

Vektoraddition

Die Summe der Vektoren erscheint sehr häufig in verschiedenen Situationen, beispielsweise wenn Sie die resultierende Kraft auf ein Objekt ermitteln möchten, das von verschiedenen Kräften beeinflusst wird. Nehmen wir zunächst an, wir haben zwei freie Vektoren oder Y. v im Flugzeug, wie in der folgenden Abbildung links gezeigt:

Es wird sofort vorsichtig auf den Vektor verschoben v, ohne seine Größe, Richtung oder seinen Sinn so zu verändern, dass sein Ursprung mit dem Ende von zusammenfällt oder.

Der Summenvektor wird aufgerufen w und wird beginnend mit u gezeichnet, das in endet v, nach der rechten Abbildung. Es ist wichtig zu beachten, dass die Größe des Vektors w ist nicht unbedingt die Summe der Größen von v Y. oder.

Wenn Sie sorgfältig darüber nachdenken, ist die Größe des resultierenden Vektors nur dann die Summe der Größen der Addenden, wenn beide Addenden in die gleiche Richtung weisen und den gleichen Sinn haben..

Und was passiert, wenn die Vektoren nicht frei sind? Es ist auch sehr einfach, sie hinzuzufügen. Der Weg, dies zu tun, ist das Hinzufügen von Komponenten zu Komponenten oder Analysemethoden.

Betrachten wir als Beispiel die Vektoren in der folgenden Abbildung. Zunächst müssen Sie sie auf eine der zuvor erläuterten kartesischen Arten ausdrücken:

v = <5,1>

oder = <2,3>

Um die Komponente zu erhalten x des Summenvektors w, Die jeweiligen Komponenten werden hinzugefügt x von v Y. oder:: w_x = 5 + 2 = 7. Und zu bekommen w_Y. es wird ein analoges Verfahren angewendet: w_Y. = 1 + 3. Deshalb:

oder = <7,4>

Eigenschaften der Vektoraddition

-Die Summe von zwei oder mehr Vektoren ergibt einen anderen Vektor.

-Es ist kommutativ, die Reihenfolge der Addenden ändert die Summe nicht so, dass:

oder + v = v + oder

-Das neutrale Element der Summe der Vektoren ist der Nullvektor: v + 0 = v

-Die Subtraktion zweier Vektoren ist definiert als die Summe des Gegenteils: v - u = v + (-oder)

Vektorbeispiele

Wie wir gesagt haben, gibt es in der Physik zahlreiche Vektorgrößen. Zu den bekanntesten gehören:

-Position

-Verschiebung

-Durchschnittsgeschwindigkeit und momentane Geschwindigkeit

-Beschleunigung

-Macht

-Bewegungsumfang

-Drehmoment oder Moment einer Kraft

-Impuls

-elektrisches Feld

-Magnetfeld

-Magnetisches Moment

Andererseits sind sie keine Vektoren, sondern Skalare:

-Wetter

-Masse

-Temperatur

-Volumen

-Dichte

-Mechanische Arbeit

-Energie

-Heiß

-Leistung

-Stromspannung

-Elektrischer Strom

Andere Operationen zwischen Vektoren

Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren gibt es drei weitere sehr wichtige Operationen zwischen Vektoren, da sie zu neuen sehr wichtigen physikalischen Größen führen:

-Produkt eines Skalars und eines Vektors.

-Das Punktprodukt oder Punktprodukt zwischen Vektoren

-Und das Kreuz- oder Vektorprodukt zwischen zwei Vektoren.

Produkt eines Skalars und eines Vektors

Betrachten Sie Newtons zweites Gesetz, das besagt, dass die Kraft F. und Beschleunigung zu Sie sind proportional. Die Proportionalitätskonstante ist die Masse m des Objekts daher:

F. = m.zu

Masse ist ein Skalar; Kraft und Beschleunigung sind Vektoren. Da die Kraft durch Multiplizieren der Masse mit der Beschleunigung erhalten wird, ist sie das Ergebnis des Produkts eines Skalars und eines Vektors.

Diese Art von Produkt führt immer zu einem Vektor. Hier ist ein weiteres Beispiel: das Ausmaß der Bewegung. Sein P. der Impulsvektor, v der Geschwindigkeitsvektor und wie immer, m ist die Masse:

P. = m.v

Punktprodukt oder Punktprodukt zwischen Vektoren

Wir haben mechanische Arbeit in die Liste der Größen aufgenommen, die keine Vektoren sind. Die Arbeit in der Physik ist jedoch das Ergebnis einer Operation zwischen Vektoren, die als Skalarprodukt, Innenprodukt oder Punktprodukt bezeichnet werden..

Lassen Sie die Vektoren sein v Y. oder, Das Punktprodukt oder der Skalar zwischen ihnen ist definiert als:

v∙oder = |v| ∙ |oder | .cos θ

Wobei θ der Winkel zwischen den beiden ist. Aus der gezeigten Gleichung folgt sofort, dass das Ergebnis des Punktprodukts ein Skalar ist und dass, wenn beide Vektoren senkrecht sind, ihr Skalarprodukt 0 ist.

Zurück zur mechanischen Arbeit W., Dies ist das Skalarprodukt zwischen dem Kraftvektor F. und der Verschiebungsvektor ℓ.

W = F.∙ℓ                  

Wenn Vektoren hinsichtlich ihrer Komponenten verfügbar sind, ist das Punktprodukt auch sehr einfach zu berechnen. Ja v = x, v_Y., v_z > Y. oder = x, oder_Y., oder_z >, Das Punktprodukt zwischen den beiden ist:

v∙oder = v_x oder_x + v_Y. oder_Y. + v_z oder_z

Das Punktprodukt zwischen Vektoren ist daher kommutativ:

v∙oder = oder∙v

Kreuzprodukt oder Vektorprodukt zwischen Vektoren

Ja v und u sind unsere zwei Beispielvektoren, das Vektorprodukt ist definiert als:

v x oder = w

Daraus folgt unmittelbar, dass das Kreuzprodukt einen Vektor ergibt, dessen Modul definiert ist als:

|v x u | = | v | . | u |. sen θ

Wo θ ist der Winkel zwischen den Vektoren.

Das Kreuzprodukt ist daher nicht kommutativ v x u ≠ u x v. Tatsächlich v x u = - (u x v).

Wenn die beiden Beispielvektoren als Einheitsvektoren ausgedrückt werden, ist die Berechnung des Vektorprodukts einfacher:

v = v_x ich + v_Y. j + v_z k

oder = u_x ich + oder_Y. j + oder_z k

Kreuzprodukte zwischen Einheitsvektoren

Das Kreuzprodukt zwischen identischen Einheitsvektoren ist Null, da der Winkel zwischen ihnen 0º beträgt. Aber zwischen verschiedenen Einheitsvektoren beträgt der Winkel zwischen ihnen 90º und sin 90º = 1.

Das folgende Diagramm hilft, diese Produkte zu finden. In Pfeilrichtung hat es eine positive Richtung und in entgegengesetzter Richtung eine negative Richtung:

ich x j = k, j x k = ich; k x ich = j; j x i = -k; k x j = -ich; ich x k = -j

Wenn wir die Verteilungseigenschaft anwenden, die für die Produkte zwischen Vektoren plus die Eigenschaften von Einheitsvektoren noch gültig ist, haben wir:

v x oder = (v_x ich + v_Y. j + v_z k) x (u_x ich + oder_Y. j + oder_z k) =  

= (v_Y.oder_z - v_zoder_Y. )ich + (v_zoder_x - v_xoder_z )j + (v_xoder_Y. - v_Y.oder_x )k

Gelöste Übungen

- Übung 1

Angesichts der Vektoren:

v = -5 ich + 4j + 1 k

oder = 2 ich -3 j + 7k

Was soll der Vektor sein w so dass die Summe v + oder + w es stellt sich heraus 6 ich +8 j -10k?

Lösung

-5 ich + 4j + 1 k

zwei ich -3 j + 7k

 w_x ich + w_Y. j + w_z k  +

--

6ich + 8 j -10 k

Daher muss Folgendes erfüllt sein:

-5 +2 + w_x = 6 → w_x = 9

4-3 + w_Y. = 8 → w_Y. = 7

1 + 7 + w_z = -10 → w_z = -18

Die Antwort ist: w = 9 ich +7 j - 18k

- Übung 2

Was ist der Winkel zwischen den Vektoren v Y. oder aus Übung 1?

Lösung

Wir werden das Punktprodukt verwenden. Aus der Definition haben wir:

cos θ = v∙oder / |v| ∙ |oder|

v∙oder= -10 -12 + 7 = -15

|v| = √ (-5)^zwei +4^zwei +1^zwei= √42 = 6,48

|oder| = √2^zwei +(-3)^zwei +7^zwei= √62 = 7,87

Ersetzen dieser Werte:

cos θ = -15 / 6,48 x 7,87 = -0,2941 → θ = 107,1 º

Verweise

1. Figueroa, D. (2005). Reihe: Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. Kinematik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6 .. Ed Lehrlingshalle.
3. Rex, A. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14 .. Ed. Band 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. 7 .. Ed. Lernen einbinden.