Lineares Variationskonzept, Beispiele, gelöste Übung

Das lineare Variation tritt zwischen zwei physikalischen Größen auf, wenn der sie darstellende Graph eine gerade Linie ist. Es ist gleichbedeutend mit der Bestätigung, dass die Variablen in linearer Abhängigkeit sind, so dass, wenn wir eine von ihnen "y" und die andere "x" nennen, sie mittels des mathematischen Ausdrucks in Beziehung gesetzt werden:

y = mx + b

In dieser Formel sind m und b reelle Zahlen. Der Wert von m repräsentiert die Steigung oder Neigung der Linie - die immer konstant ist - und b ist der Schnitt der Linie mit der vertikalen Achse.

Jedes Phänomen, das auf eine lineare Variation reagiert, hat unterschiedliche Namen für die Variablen, wie wir in den folgenden Beispielen sehen werden. Die mathematische Form der Gleichung ist jedoch dieselbe.

Experimentell kann festgestellt werden, ob zwischen zwei Größen eine lineare Beziehung besteht, wobei die Wertepaare (x, y) gemessen werden..

Die so erhaltenen Punkte werden auf Millimeterpapier aufgetragen und es wird beobachtet, ob sie einen linearen Trend haben, dh ob es eine Linie gibt, die den experimentellen Daten angemessen entspricht.

In erster Linie kann diese Linie visuell gezeichnet werden, jedoch mittels a lineare Regression analytisch können die Werte von m und b der Linie gefunden werden, die am besten zu den experimentellen Punkten passen.

Artikelverzeichnis

• 1 Beispiele für lineare Variationen
  • 1.1 Die Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung variierte gleichmäßig
  • 1.2 Wärmeausdehnung
  • 1.3 Position eines Mobiltelefons mit konstanter Geschwindigkeit
  • 1.4 Größe einer Person
  • 1.5 Temperaturskalen
  • 1.6 Druck und Tiefe
• 2 Übung gelöst
  • 2.1 Fahrkosten
• 3 Referenzen

Beispiele für lineare Variationen

Es gibt zahlreiche natürliche Phänomene sowie Beziehungen zwischen Messstandards, die auf lineare Variationen zurückzuführen sind, zum Beispiel:

Die Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung variierte gleichmäßig

Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit v (t) eines Mobiltelefons, das sich entlang einer Linie mit konstanter Beschleunigung a und Anfangsgeschwindigkeit v bewegt_oder  verschieden von 0. Diese Bewegung ist bekannt als gleichmäßig variierte geradlinige Bewegung und die Gleichung für die Geschwindigkeit lautet:

v (t) = v_oder + beim

Wärmeausdehnung

Ein weiteres natürliches Phänomen, dessen Variation linear ist, ist die Zunahme der Länge, die ein Stab oder Draht beim Erhitzen erfährt..

Wenn die Temperatur eines Objekts ansteigt, steigen auch seine Abmessungen, und dieser Anstieg hängt von der Änderung der Temperatur ΔT und einer aufgerufenen Größe ab linearer Ausdehnungskoeffizient bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben α:

L = L._oder + α ΔT

In diesem Ausdruck ist L die endgültige Länge des Objekts und L._oder ist seine anfängliche Länge.

Position eines Mobiltelefons mit konstanter Geschwindigkeit

Ein Handy mit Geschwindigkeit Konstante bewegt sich immer in einer geraden Linie. Wenn die gerade Linie die horizontale x-Achse ist, ist die Position x (t) zu jedem Zeitpunkt gegeben durch:

x (t) = x_oder + vt

Wo x_oder ist die Ausgangsposition, v ist die Geschwindigkeit und t ist die Zeit. Auf diese Weise wird gesagt, dass die Position x linear mit der Zeit t variiert.

Größe einer Person

Ärzte und Anthropologen können die Größe einer Person durch Messen der Länge des Femurs abschätzen..

Je größer eine Person ist, desto länger sind die Beine. Daher gibt es lineare Modelle, um die Größe eines Erwachsenen H (in Zoll) vorherzusagen, wenn die Länge L (auch in Zoll) seines Femurs gemäß der folgenden Gleichung bekannt ist:

H = 1,880 l + 32,010

Temperaturskalen

Die Celsius- und Fahrenheit-Skalen werden täglich zur Messung der Temperaturen verwendet. Diese letzte Skala wird üblicherweise im englischsprachigen Raum verwendet. Es gibt eine Äquivalenz, um von einem zum anderen zu gelangen:

F = (9/5) C + 32

Wobei F die Temperatur in Grad Fahrenheit und C die Temperatur in Grad Celsius ist.

Druck und Tiefe

Der absolute Druck P in einem inkompressiblen Fluid wie Wasser, dessen konstante Dichte ρ ist, variiert in Abhängigkeit von der Tiefe h wie folgt:

P = P._oder + ρgh

Wo P._oder ist der Druck an der freien Oberfläche der Flüssigkeit. Befindet sich die Flüssigkeit in einem zur Atmosphäre offenen Behälter, ist dieser Druck einfach der atmosphärische Druck P._Geldautomat, dann schreiben können:

P = P._Geldautomat + ρgh

Der atmosphärische Druck auf Meereshöhe beträgt ungefähr 101 kPa. Diese Beziehung zwischen P und h bedeutet, dass der Druck linear mit der Tiefe ansteigt..

Übung gelöst

Fahrkosten

Die monatlichen Kosten C für das Autofahren beinhalten feste monatliche Kosten C._oder zuzüglich der Kosten für Kilometer oder gefahrene Kilometer pro Monat. Ein Fahrer stellt fest, dass in einem bestimmten Monat die Fahrkosten 380 USD für 480 Meilen und im nächsten Monat 460 USD für 800 Meilen betrugen.

D sei die Anzahl der vom Fahrer pro Monat zurückgelegten Meilen mit den angegebenen Daten. Finden Sie:

a) Die lineare Variation zwischen C und d.

b) Wie viel würde es pro Monat kosten, das Auto auf einer Fahrt von 1.500 Meilen zu fahren??

c) Der Graph von C gegen d.

Lösung für

Angenommen, die Variablen haben eine Beziehung, die gegeben ist durch:

C = C._oder + Anzeige

Wo A und C._oder sind zu bestimmende Konstanten. A ist die Steigung der Linie, die die Beziehung zwischen C und d grafisch darstellt. Co ist der Schnitt mit der vertikalen Achse, die festen monatlichen Kosten, die der Fahrer für die bloße Tatsache zahlen muss, dass das Auto verfügbar ist. Dies kann beispielsweise Wartungskosten und Steuern umfassen.

Um eine Linie eindeutig bestimmen zu können, muss ihre Steigung bekannt sein. Dafür haben wir die Punkte:

P.₁: 480 Meilen, 380 US-Dollar

P._zwei: 800 Meilen, 460 US-Dollar

Diese Koordinatenpunkte (d, C) oder (Entfernung, Kosten) sind analog zu den Koordinatenpunkten (x, y) der kartesischen Ebene, wobei sich die Namen ändern. Die Steigung A der Linie ist dann gegeben durch:

A = (C._zwei - C.₁) / (d_zwei - d₁)

A = [(460 - 380) $ / (800 - 480) Meilen] = (1/4) $ / Meile

Die Neigung der Linie stellt die Kosten pro Meile wie folgt dar:

C = C._oder + A.d = Co + (1/4) .d

Ermittlung der Kosten der Basis C._oder Diese Gleichung wird genommen und einer der Punkte, von denen wir wissen, dass sie dazu gehören, wird ersetzt, zum Beispiel P.₁::

380 $ = C._oder + [(1/4) $ / Meile]. 480 Meile → 380 $ = C._oder + 120 $

C._oder = $ 260

Jetzt können wir das lineare Variationsmodell wie folgt formulieren:

C = 260 + (1/4) d

Lösung b

Die monatlichen Kosten für Reisen von 1500 Meilen betragen:

C = 260 + (1/4) x $ 1500 = $ 635

Lösung c

Der Graph von C gegen d ist:

Verweise

1. Baldor. 1977. Elementare Algebra. Venezolanische Kulturausgaben.
2. Hoekenga, C. Lineare Gleichungen in der Wissenschaft. Wiederhergestellt von: visionlearning.com.
3. Hoffman, J. Auswahl mathematischer Themen. Band 2.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Halle.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematik für Calculus. 5 .. Auflage. Lernen einbinden.
6. Zill, D. 1984. Algebra und Trigonometrie. Mcgraw Hügel.