EIN Trapez Skalen ist ein Polygon mit vier Seiten, von denen zwei parallel zueinander sind, und mit seinen vier Innenwinkeln unterschiedlicher Maße.
Das viereckige ABCD ist unten gezeigt, wobei die Seiten AB und DC parallel zueinander sind. Dies reicht aus, um es zu einem Trapez zu machen, aber zusätzlich sind die Innenwinkel α, β, γ und δ alle unterschiedlich, daher ist das Trapez Skalen.
Artikelverzeichnis
Hier sind die charakteristischsten Elemente:
-Basen und Seiten: Die parallelen Seiten des Trapezes sind seine Basen und die beiden nicht parallelen Seiten sind die Seitenteile.
In einem Skalen-Trapez sind die Basen unterschiedlich lang und die lateralen auch unterschiedlich. Ein Skalen-Trapez kann jedoch eine laterale Länge haben, die einer Basis entspricht..
-Median: ist das Segment, das die Mittelpunkte der Seitenteile verbindet.
-Diagonalen: Die Diagonale eines Trapezes ist das Segment, das zwei gegenüberliegende Eckpunkte verbindet. Ein Trapez hat wie jedes Viereck zwei Diagonalen. Im Skalen-Trapez sind sie unterschiedlich lang.
Neben dem Skalen-Trapez gibt es noch andere besondere Trapezoide: das rechte Trapez und das gleichschenklige Trapez..
Ein Trapez ist ein Rechteck, wenn einer seiner Winkel richtig ist, während die Seiten eines gleichschenkligen Trapezes gleich lang sind.
Die Trapezform hat zahlreiche Anwendungen auf Design- und Branchenebene, beispielsweise bei der Konfiguration von Flugzeugflügeln, der Form von Alltagsgegenständen wie Tischen, Rückenlehnen, Verpackungen, Geldbörsen, Textildrucken und vielem mehr..
Nachfolgend sind die Eigenschaften des Skalen-Trapezes aufgeführt, von denen sich viele auf die anderen Arten von Trapez erstrecken. Wenn im Folgenden von "Trapez" gesprochen wird, ist die Eigenschaft auf jeden Typ anwendbar, einschließlich Skalen..
1. Der Median des Trapezes, dh das Segment, das die Mittelpunkte seiner nicht parallelen Seiten verbindet, ist parallel zu einer der Basen.
2.- Der Median eines Trapezes hat eine Länge, die die Halbsumme seiner Basen ist, und schneidet seine Diagonalen in der Mitte.
3.- Die Diagonalen eines Trapezes schneiden sich an einem Punkt, der sie in zwei Abschnitte unterteilt, die proportional zu den Quotienten der Basen sind.
4.- Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes entspricht der Summe der Quadrate seiner Seiten plus dem Doppelprodukt seiner Basen..
5.- Das Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, hat eine Länge, die der Halbdifferenz der Basen entspricht.
6.- Die Winkel neben den seitlichen sind ergänzend.
7.- In einem Skalen-Trapez ist die Länge seiner Diagonalen unterschiedlich.
8.- Ein Trapez hat nur dann einen beschrifteten Umfang, wenn die Summe seiner Basen gleich der Summe seiner Seiten ist.
9.- Wenn ein Trapez einen eingeschriebenen Umfang hat, ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Umfangs und den Seiten, die durch die Enden der Seite des Trapezes verlaufen, gerade.
10.- Ein Skalen-Trapez hat keinen umschriebenen Umfang. Die einzige Art von Trapez, die einen hat, sind die gleichschenkligen.
Die folgenden Beziehungen des Skalen-Trapezes beziehen sich auf die folgende Abbildung.
1.- Wenn AE = ED und BF = FC → EF || AB und EF || DC.
2. EF = (AB + DC) / 2, dh: m = (a + c) / 2.
3.- DI = IB = d1 / 2 und AG = GC = dzwei /zwei.
4.- DJ / JB = (c / a) ähnlich CJ / JA = (c / a).
5.- DBzwei + ACzwei = ADzwei + BCzwei + 2 AB ∙ DC
Gleichwertig:
d1zwei + dzweizwei = dzwei + bzwei + 2 a ∙ c
6.- GI = (AB - DC) / 2
Nämlich:
n = (a - c) / 2
7.- α + δ = 180⁰ und β + γ = 180⁰
8.- Wenn α ≠ β ≠ γ ≠ δ ist, dann ist d1 ≠ d2.
9.- Abbildung 4 zeigt ein Skalen-Trapez mit einem beschrifteten Umfang. In diesem Fall gilt Folgendes:
a + c = d + b
10.- In einem Skalen-Trapez ABCD mit einem eingeschriebenen Umfang des Zentrums O gilt auch Folgendes:
"AOD =" BOC = 90 "
Die Höhe eines Trapezes ist definiert als das Segment, das von einem Punkt der Basis senkrecht zur gegenüberliegenden Basis (oder zu seiner Verlängerung) verläuft..
Alle Höhen des Trapezes haben das gleiche Maß h, so dass sich das Wort Höhe meistens auf sein Maß bezieht. Bei der Synthese ist die Höhe der Abstand oder der Abstand zwischen den Basen.
Die Höhe h kann bestimmt werden, indem die Länge einer Seite und einer der an die Seite angrenzenden Winkel bekannt sind:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
Das Maß m des Medians des Trapezes ist die Halbwertsumme der Basen:
m = (a + b) / 2
d1 = √ [azwei + dzwei - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
dzwei= √ [azwei + bzwei - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Es kann auch berechnet werden, wenn nur die Länge der Seiten des Trapezes bekannt ist:
d1 = √ [bzwei + a ∙ c - a (bzwei - dzwei) / (a - c)]
dzwei = √ [dzwei + a ∙ c - a (dzwei - bzwei) / (a - c)]
Der Umfang ist die Gesamtlänge der Kontur, dh die Summe aller Seiten:
P = a + b + c + d
Die Fläche eines Trapezes ist die Halbwertsumme seiner Basen multipliziert mit seiner Höhe:
A = h ∙ (a + b) / 2
Es kann auch berechnet werden, wenn der Median m und die Höhe h bekannt sind:
A = m ∙ h
Falls nur die Länge der Seiten des Trapezes bekannt ist, kann die Fläche nach der Heron-Formel für das Trapez bestimmt werden:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Wobei s das Semiperimeter ist: s = (a + b + c + d) / 2.
Der Schnittpunkt des Medians mit den Diagonalen und der Parallele, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, führt zu anderen Beziehungen.
EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2
Wenn KL || AB || DC mit J ∈ KL, dann KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Angesichts der Längengrundlagen zu Y. c, wo a> c und mit Seiten der Längen b und d, Sein b> d, Gehen Sie folgendermaßen vor (siehe Abbildung 6):
1.- Mit der Regel wird das Segment des Haupt-AB gezeichnet.
2.- Von A se und auf AB ist der Punkt P so markiert, dass AP = c.
3.- Mit dem Kompass mit Mittelpunkt bei P und Radius d wird ein Bogen gezeichnet.
4.- Zentrieren Sie bei B mit dem Radius b und zeichnen Sie einen Bogen, der den im vorherigen Schritt gezeichneten Bogen abfängt. Wir nennen Q den Schnittpunkt.
5.- Zeichnen Sie mit der Mitte bei A einen Bogen mit dem Radius d.
6.- Zeichnen Sie mit der Mitte bei Q einen Bogen mit dem Radius c, der den im vorherigen Schritt gezeichneten Bogen abfängt. Der Grenzpunkt wird als R bezeichnet.
7.- Die Segmente BQ, QR und RA werden mit dem Lineal verfolgt.
8.- Das viereckige ABQR ist ein Skalen-Trapez, da APQR ein Parallelogramm ist, das AB || garantiert Qr.
Die folgenden Längen sind in cm angegeben: 7, 3, 4 und 6.
a) Bestimmen Sie, ob es mit ihnen möglich ist, ein Skalen-Trapez zu konstruieren, das einen Kreis umschreiben kann.
b) Finden Sie den Umfang, die Fläche, die Länge der Diagonalen und die Höhe des Trapezes sowie den Radius des Beschriftungskreises.
Unter Verwendung der Segmente der Länge 7 und 3 als Basen und der Segmente der Länge 4 und 6 als Seitenteile kann ein Skalen-Trapez unter Verwendung des im vorherigen Abschnitt beschriebenen Verfahrens konstruiert werden.
Es bleibt zu prüfen, ob es einen beschrifteten Umfang hat, aber sich an die Eigenschaft zu erinnern (9):
Ein Trapez hat nur dann einen eingeschriebenen Umfang, wenn die Summe seiner Basen gleich der Summe seiner Seiten ist.
Wir sehen das effektiv:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Dann ist die Existenzbedingung des eingeschriebenen Umfangs erfüllt.
Der Umfang P wird durch Hinzufügen der Seiten erhalten. Da sich die Basen zu 10 addieren und die Seitenteile auch, beträgt der Umfang:
P = 20 cm
Um den Bereich zu bestimmen, der nur seine Seiten kennt, wird die Beziehung angewendet:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Wo ist s das Semiperimeter:
s = (a + b + c + d) / 2.
In unserem Fall ist das Semiperimeter s = 10 cm wert. Nach dem Ersetzen der jeweiligen Werte:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Überreste:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
Die Höhe h wird durch den folgenden Ausdruck mit der Fläche A in Beziehung gesetzt:
A = (a + c) ∙ h / 2, aus dem die Höhe durch Löschen erhalten werden kann:
h = 2A / (a + c) = 2 · 19,84 / 10 = 3,988 cm.
Der Radius des Beschriftungskreises entspricht der halben Höhe:
r = h / 2 = 1.984 cm
Schließlich wird die Länge der Diagonalen gefunden:
d1 = √ [bzwei + a ∙ c - a (bzwei - dzwei) / (a - c)]
dzwei = √ [dzwei + a ∙ c - a (dzwei - bzwei) / (a - c)]
Wenn wir die Werte richtig einsetzen, haben wir:
d1 = √ [6zwei + 7 ∙ 3 - 7 (6zwei - 4zwei) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
dzwei = √ [4zwei + 7 ∙ 3 - 7 (4zwei - 6zwei) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
Das heißt: d1 = 4,69 cm und dzwei = 8,49 cm
Bestimmen Sie die Innenwinkel des Trapezes mit den Basen AB = a = 7, CD = c = 3 und den Seitenwinkeln BC = b = 6, DA = d = 4.
Der Kosinussatz kann angewendet werden, um die Winkel zu bestimmen. Beispielsweise wird der Winkel ∠A = α aus dem Dreieck ABD mit AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 und DA = d = 4 bestimmt.
Der auf dieses Dreieck angewendete Kosinussatz sieht folgendermaßen aus:
dzweizwei = azwei + dzwei - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), dh:
72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).
Durch Auflösen wird der Kosinus des Winkels α erhalten:
Cos (α) = -1/8
Das heißt, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
Auf die gleiche Weise werden die anderen Winkel erhalten, wobei ihre Werte sind:
β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ und schließlich δ = 82,82⁰.
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