Das Ecuationssysteme Sie bestehen aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, die eine gemeinsame Lösung haben müssen. Sie sind häufig, weil es in der Praxis zahlreiche Situationen gibt, die von vielen Faktoren abhängen, die auf verschiedene Weise zusammenhängen.
Im Allgemeinen hat ein Gleichungssystem die folgende Form, wobei jede Funktion eine der Bedingungen darstellt, die die Lösung erfüllen muss:
Schauen wir uns ein Beispiel an: Angenommen, Sie müssen rechteckige Blätter mit einer Fläche von 180 cm erstellenzwei und die haben einen Umfang von 54 cm. Was sollten die Abmessungen des Blattes sein?
Um die Frage zu beantworten, berücksichtigen wir, dass die Abmessungen eines rechteckigen Blattes zwei sind: Breite und Höhe. Dies bedeutet, dass wir 2 Variablen haben, denen wir die üblichen Namen geben werden x und Y..
Und diese Variablen müssen die beiden gleichzeitig auferlegten Bedingungen erfüllen:
-Erste Bedingung: Die Fläche des Blattes beträgt 180 cmzwei. Dies ist die erste Funktion: F.1.
-Zweite Bedingung: Der Umfang oder die Kontur des Blattes muss 54 cm betragen. Dies ist die zweite Funktion F.zwei.
Für jede Bedingung wird eine Gleichung unter Verwendung der algebraischen Sprache erstellt. Die Fläche A eines rechteckigen Blattes wird erhalten, indem Breite mit Höhe multipliziert wird:
A = x.y = 180 cmzwei
Und der Umfang P ergibt sich aus dem Hinzufügen der Seiten. Da der Umfang die Summe der Seiten ist:
P = 2x + 2y = 54 cm
Das resultierende System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ist:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Wir brauchen zwei Zahlen, deren Produkt 180 ist und deren doppeltes Produkt 54 ist, oder was dasselbe ist: zusammen müssen sie 27 ergeben. Diese Zahlen sind 12 und 15.
Im Abschnitt der gelösten Übungen werden wir die detaillierte Methode anbieten, um diese Werte zu finden, während der Leser durch Ersetzen leicht überprüfen kann, ob sie beide Gleichungen effektiv erfüllen.
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Die oben vorgeschlagene Situation enthält 2 Variablen, und mindestens 2 Gleichungen sind erforderlich, um sie zu finden. Es gibt Systeme mit viel mehr Variablen, aber auf jeden Fall, wenn das System hat n von ihnen erfordert es zumindest n voneinander unabhängige Gleichungen (eine kann keine lineare Kombination der anderen sein), um die Lösung zu finden, falls vorhanden.
Die Anwendungen sind zahlreich. Hier sind einige, in denen Gleichungssysteme ihre Nützlichkeit beweisen:
-Finden der Ströme, die durch einen Stromkreis fließen, unter Verwendung der Kirchoffschen Gesetze.
-Im Land- und Luftverkehr, um Abflug- und Ankunftszeiten festzulegen.
-Finden Sie die Größen von Kräften in dynamischen oder statischen Systemen, die mehreren Wechselwirkungen ausgesetzt sind.
-Die Menge der während eines bestimmten Zeitraums oder in Fabriken verkauften Gegenstände kennen, um die Abmessungen der Gegenstände so zu bestimmen, dass sie bestimmte Bedingungen hinsichtlich Oberfläche oder Volumen erfüllen.
-Bei der Festlegung, wie ein Kapital auf verschiedene Anlagen verteilt werden soll.
-Legen Sie die Tarife für verschiedene Dienste fest, z. B. Telekommunikation oder Shows, und kennen Sie den gesammelten Geldbetrag (siehe gelöstes Beispiel 2).
-Eine Gleichung wird gewählt und eine der Variablen wird gelöst.
-Dann müssen wir die gelöschte Variable in eine andere Gleichung einsetzen. Dann verschwindet diese Variable von dort und wenn das System zwei Gleichungen und zwei Unbekannte hat, bleibt eine Gleichung mit einer Variablen, die bereits gelöst werden kann.
-Wenn das System mehr als zwei Variablen hat, müssen wir nach einem dritten Unbekannten aus einer anderen Gleichung suchen und es ebenfalls ersetzen.
Ein Beispiel für die Anwendung dieser Methode finden Sie in der gelösten Übung 1.
Diese Methode besteht aus dem Addieren oder Subtrahieren von Gleichungen, um eine oder mehrere Variablen zu eliminieren und nur eine zu belassen. Dazu ist es zweckmäßig, die Gleichungen mit einem Faktor zu multiplizieren, so dass beim Addieren mit einer anderen Gleichung das Unbekannte verschwindet. Sehen wir uns ein Beispiel an:
3xzwei - Y.zwei = 11
xzwei + 4yzwei = 8
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 4:
12xzwei - 4yzwei = 44
xzwei + 4yzwei = 8
Durch Hinzufügen verschwindet das Unbekannte Y., verbleibend:
13xzwei = 52
xzwei = 4
Deshalb x1 = 2 und xzwei = -2. Mit diesen Werten kann der Leser dies überprüfen und1 = 1 und yzwei = -1
Wenn das System zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ist:
-Wählen Sie ein Unbekanntes und lösen Sie für beide Gleichungen.
-Die Ergebnisse werden ausgeglichen, wodurch eine einzelne Gleichung mit einem einzelnen Unbekannten erhalten werden kann.
-Diese Gleichung wird gelöst und das Ergebnis in eine der vorherigen Abstände eingesetzt, um den Wert des anderen Unbekannten zu erhalten..
Diese Methode wird in der gelösten Übung 2 des folgenden Abschnitts angewendet.
Diese Methode besteht aus der grafischen Darstellung der Kurven, die jede Gleichung darstellt. Der Schnittpunkt ist die Lösung des Systems. Das folgende Beispiel zeigt die grafische Lösung des Systems:
xzwei + Y. zwei = 1
2x + 4y = 0
Die erste der Gleichungen ist ein Kreis mit dem Radius 1, der am Ursprung zentriert ist, und die zweite ist eine Linie.
Der Schnittpunkt beider sind die beiden blau dargestellten Punkte. Der Leser kann überprüfen, ob durch Ersetzen der Koordinaten der Punkte in den obigen Gleichungen eine Gleichheit erhalten wird.
Sie müssen rechteckige Blätter mit einer Fläche von 180 cm erstellenzwei und mit einem Umfang von 54 cm. Was sollten die Abmessungen des Blattes sein?
Das zu lösende System ist:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Die zweite Gleichung kann daher auf x + y = 27 vereinfacht werden:
xy = 180
x + y = 27
Löse nach einem der Unbekannten in der zweiten Gleichung:
y = 27 - x
Die Freigabe wird im ersten ersetzt:
(27-x) = 180
Anwenden der Verteilungseigenschaft:
-xzwei + 27x = 180
Multiplizieren Sie mit (-1) auf beiden Seiten der Gleichung und senden Sie die 180 an die linke Seite:
xzwei - 27x +180 = 0
Das Ergebnis ist eine Gleichung zweiten Grades in x, die durch die Formel gelöst wird:
Mit a = 1 ist b = -27 und c = 180
Ein Vergnügungspark hat folgende Eintrittsgelder: Kinder 1,5 USD und Erwachsene 4 USD. An einem Tag gab es 2.200 Besucher, die 5050 US-Dollar sammelten. Finden Sie die Anzahl der Kinder und Erwachsenen, die den Park an diesem Tag besucht haben.
Sein x die Anzahl der Kinder und Y. die Anzahl der Erwachsenen. Wir können die erste der Gleichungen aufstellen und wissen, dass die Summe von beiden 2200 sein muss:
x + y = 2200.
Jetzt gehen wir mit dem gesammelten Geld. Der Preis für das Kinderticket beträgt 1,5 USD für jedes Kind. Wenn Sie diesen Wert mit x, der Anzahl der Kinder, multiplizieren, erhalten Sie den Betrag für das Kinderticket:
1,5x = Geld für Kindertickets
Und wenn wir 4 US-Dollar pro Erwachsenem mit der Anzahl und Anzahl der erwachsenen Besucher multiplizieren, erhalten wir das Gesamtgeld für alle Erwachsenen:
4y = Geld, das durch Eintrittskarten für Erwachsene gesammelt wird
Wir addieren dies, um $ 5050 zu erhalten:
1,5x + 4y = 5050
Unser Gleichungssystem ist:
x + y = 2200
1,5x + 4y = 5050
Lösen wir es durch Ausgleich. Wir isolieren die Variable y von der ersten und der zweiten Gleichung:
y = 2200 - x
y = (5050 - 1,5 x) / 4
Wir stimmen mit beiden Ausdrücken überein:
2200 - x = (5050 - 1,5x) / 4
Wir multiplizieren alles mit 4, um den Bruch zu eliminieren:
8800 - 4x = 5050 - 1,5x
Wir gruppieren die Begriffe mit x links und den reinen Zahlen rechts:
-4x + 1,5x = 5050 - 8800
-2,5x = -3750
x = 1500 Kinder.
Wir setzen diesen Wert in y = 2200 - x ein, um die Anzahl der Erwachsenen zu ermitteln:
y = 2200 - 1500 = 700 Erwachsene.
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