Beispiele und Übungen für Power-Serien

EIN Potenzreihen besteht aus einer Summe von Begriffen in Form von Potenzen der Variablen x, oder allgemeiner von x-c, wo c ist eine konstante reelle Zahl. In der Summationsnotation wird eine Reihe von Potenzen wie folgt ausgedrückt:

∑a_n (x-c)ⁿ = a_oder + zu₁ (x - c) + a_zwei (x - c)^zwei + zu₃ (x - c)³ +… + A._n (x - c)ⁿ

Wo die Koeffizienten a_oder, zu₁, zu_zwei… Sind reelle Zahlen und die Reihe beginnt bei n = 0.

Diese Serie konzentriert sich auf Wert c was konstant ist, aber Sie können wählen, welche c ist gleich 0, in diesem Fall vereinfacht sich die Potenzreihe zu:

∑a_n xⁿ = a_oder + zu₁ x + a_zwei x^zwei + zu₃ x³ +… + A._n xⁿ

Die Serie beginnt mit zu_oder(x-c)⁰ Y. zu_oderx⁰ beziehungsweise. Aber wir wissen das:

(x-c)⁰= x⁰ = 1

Deshalb zu_oder(x-c)⁰ = zu_oderx⁰ = zu_oder (unabhängiger Begriff)

Das Gute an Potenzreihen ist, dass Sie Funktionen mit ihnen ausdrücken können. Dies hat viele Vorteile, insbesondere wenn Sie mit einer komplizierten Funktion arbeiten möchten.

Wenn dies der Fall ist, wird anstelle der direkten Verwendung der Funktion die Erweiterung in Potenzreihen verwendet, die einfacher abzuleiten, zu integrieren oder numerisch zu arbeiten ist..

Natürlich ist alles von der Konvergenz der Serien abhängig. Eine Reihe konvergiert, wenn eine bestimmte große Anzahl von Begriffen hinzugefügt wird, was einen festen Wert ergibt. Und wenn wir noch weitere Begriffe hinzufügen, erhalten wir diesen Wert weiterhin.

Artikelverzeichnis

• 1 Funktioniert als Potenzreihe
  • 1.1 Geometrische Potenzreihen
• 2 So finden Sie die Reihenerweiterung der Potenzen einer Funktion
• 3 Übung
  • 3.1 - Übung gelöst 1
  • 3.2 - Übung gelöst 2
• 4 Referenzen

Funktioniert als Potenzreihe

Nehmen wir als Beispiel für eine Funktion, die als Potenzreihe ausgedrückt wird f (x) = e^x.

Diese Funktion kann in Form einer Reihe von Potenzen wie folgt ausgedrückt werden:

und^x  ≈ 1 + x + (x^zwei / 2!) + (X.³ / 3!) + (X.⁴ / 4!) + (X.⁵ / 5!) +…

Wo! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… und es dauert 0! = 1.

Wir werden mit Hilfe eines Taschenrechners überprüfen, ob die Reihe tatsächlich mit der explizit angegebenen Funktion übereinstimmt. Beginnen wir zum Beispiel damit, x = 0 zu machen.

Wir wissen, dass e⁰ = 1. Mal sehen, was die Serie macht:

und⁰ ≈ 1 + 0 + (0^zwei / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

Und jetzt versuchen wir es mit x = 1. Ein Taschenrechner zeigt das und¹ = 2,71828, und dann vergleichen wir mit der Serie:

und¹ ≈ 1 + 1 + (1^zwei / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Mit nur 5 Begriffen haben wir bereits eine genaue Übereinstimmung in e ≈ 2.71. Unsere Serie hat nur noch ein wenig zu tun, aber wenn weitere Begriffe hinzugefügt werden, konvergiert die Serie sicherlich zum exakten Wert von und. Die Darstellung ist genau wann n → ∞.

Wenn die obige Analyse wiederholt wird, um n = 2 Es werden sehr ähnliche Ergebnisse erhalten.

Auf diese Weise sind wir sicher, dass die Exponentialfunktion f (x) = e^x kann durch diese Reihe von Kräften dargestellt werden:

Geometrische Potenzreihe

Die Funktion f (x) = e^x Es ist nicht die einzige Funktion, die eine Potenzreihendarstellung unterstützt. Zum Beispiel die Funktion  F.((x) = 1/1 - x  sieht dem bekannten sehr ähnlich konvergente geometrische Reihen::

∑a.r.ⁿ = a / 1 - r

Es reicht aus, a = 1 und r = x zu machen, um eine für diese Funktion geeignete Reihe zu erhalten, die bei c = 0 zentriert ist:

Es ist jedoch bekannt, dass diese Reihe für │r│ konvergent ist<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Wenn Sie diese Funktion in einem anderen Intervall definieren möchten, konzentrieren Sie sich einfach auf einen geeigneten Wert und sind fertig..

So finden Sie die Reihenerweiterung der Potenzen einer Funktion

Jede Funktion kann in einer auf c zentrierten Potenzreihe entwickelt werden, solange sie Ableitungen aller Ordnungen bei x = c aufweist. Die Prozedur verwendet den folgenden Satz, der aufgerufen wird Taylors Satz:

Sei f (x) eine Funktion mit Ableitungen der Ordnung n, bezeichnet als F.⁽ⁿ⁾, das lässt eine Reihe von Potenzerweiterungen im Intervall zu ich. Seine Entwicklung in Taylor-Serie es ist:

So dass:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)^zwei / 2 + f "(c) (x-c)³ / 6 +… R._n

Wo R._n, Das ist der n-te Term der Reihe, heißt Rückstand::

Wenn c = 0 ist, wird die Reihe aufgerufen Maclaurin-Serie.

Diese hier angegebene Reihe ist identisch mit der zu Beginn angegebenen Reihe, nur dass wir jetzt die Möglichkeit haben, die Koeffizienten jedes Terms explizit zu finden, gegeben durch:

Es muss jedoch sichergestellt sein, dass die Reihe zu der darzustellenden Funktion konvergiert. Es kommt vor, dass nicht jede Taylor-Reihe notwendigerweise gegen das f (x) konvergiert, das bei der Berechnung der Koeffizienten berücksichtigt wurde zu_n.

Dies geschieht, weil möglicherweise die Ableitungen der Funktion in ausgewertet werden x = c fallen mit dem gleichen Wert der Derivate eines anderen zusammen, auch in x = c. In diesem Fall wären die Koeffizienten gleich, aber die Entwicklung wäre mehrdeutig, da nicht sicher ist, welcher Funktion sie entspricht..

Zum Glück gibt es einen Weg zu wissen:

Konvergenzkriterium

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, wenn R._n → 0 wenn n → ∞ für alle x im Intervall I, konvergiert die Reihe gegen f (x).

Übung

- Gelöste Übung 1

Finden Sie die geometrische Potenzreihe für die Funktion f (x) = 1/2 - x zentriert bei c = 0.

Lösung

Die gegebene Funktion muss so ausgedrückt werden, dass sie so genau wie möglich mit 1/1-x übereinstimmt, dessen Reihe bekannt ist. Schreiben wir daher Zähler und Nenner neu, ohne den ursprünglichen Ausdruck zu ändern:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Da ½ konstant ist, kommt es aus der Summation und wird in Form der neuen Variablen x / 2 geschrieben:

Beachten Sie, dass x = 2 nicht zur Domäne der Funktion gehört und dem im Abschnitt angegebenen Konvergenzkriterium entspricht Geometrische Potenzreihen, Die Erweiterung gilt für │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Übung gelöst 2

Finden Sie die ersten 5 Terme der Maclaurin-Reihenerweiterung der Funktion f (x) = sin x.

Lösung

Schritt 1

Derivate werden zuerst gefunden:

-Ableitung der Ordnung 0: Es ist die gleiche Funktion f (x) = sin x

-Erste Ableitung: (sin x) '= cos x

-Zweite Ableitung: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Dritte Ableitung: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Vierte Ableitung: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Schritt 2

Dann wird jede Ableitung bei x = c bewertet, ebenso wie eine Maclaurin-Expansion, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Schritt 3

Die Koeffizienten a werden konstruiert_n;;

zu_oder = 0/0! = 0; zu₁ = 1/1! = 1; zu_zwei = 0/2! = 0; zu₃ = -1 / 3 !; zu₄ = 0/4! = 0

Schritt 4

Schließlich wird die Serie zusammengestellt nach:

sin x ≈ 0.x.⁰ + 1. x¹ + 0 .x^zwei - (1/3!) X.³ + 0.x.⁴… = X - (1/3!)) X.³  +...

Benötigt der Leser mehr Begriffe? Wie viele mehr, die Serie kommt der Funktion näher.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten ein Muster enthalten. Der nächste Term ungleich Null ist a₅ und alle mit ungeradem Index unterscheiden sich auch von 0, wobei die Vorzeichen abwechseln, so dass:

sin x ≈ x - (1/3!)) x³  + (1/5!)) X.⁵ - (1/7!)) X.⁷  +... .

Es bleibt als Übung übrig, um zu überprüfen, ob es konvergiert. Sie können das verwenden Quotientenkriterium für die Serienkonvergenz.

Verweise

1. CK-12-Stiftung. Power Series: Darstellung von Funktionen und Operationen. Wiederhergestellt von: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integralrechnung. Nationale Universität des Litoral.
3. Larson, R. 2010. Berechnung einer Variablen. 9 .. Auflage. Mcgraw Hügel.
4. Mathematik Freie Texte. Potenzreihen. Wiederhergestellt von: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Potenzreihen. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.