Das Simpsons Regel ist eine Methode zur ungefähren Berechnung bestimmter Integrale. Es basiert auf der Aufteilung des Integrationsintervalls in eine gerade Anzahl von gleich beabstandeten Teilintervallen.
Die Extremwerte zweier aufeinanderfolgender Teilintervalle definieren drei Punkte, an die eine Parabel passt, deren Gleichung ein Polynom zweiten Grades ist.
Dann wird die Fläche unter der Kurve der Funktion in den zwei aufeinanderfolgenden Intervallen durch die Fläche des Interpolationspolynoms angenähert. Addiert man den Beitrag aller aufeinanderfolgenden Teilintervalle zur Fläche unter der Parabel, so ergibt sich der ungefähre Wert des Integrals.
Da andererseits das Integral einer Parabel algebraisch genau berechnet werden kann, ist es möglich, eine analytische Formel für den ungefähren Wert des bestimmten Integrals zu finden. Es ist bekannt als die Simpsons Formel.
Der Fehler des so erhaltenen ungefähren Ergebnisses nimmt ab, wenn die Anzahl der Unterteilungen n größer ist (wobei n eine gerade Zahl ist)..
Im Folgenden wird ein Ausdruck angegeben, der die Schätzung der Obergrenze des Fehlers der Approximation an das Integral I ermöglicht, wenn eine Partition von n regulären Teilintervallen des Gesamtintervalls vorgenommen wurde [a, b].
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Das Integrationsintervall [a, b] ist in n Teilintervalle unterteilt, wobei n eine gerade ganze Zahl ist. Die Breite jeder Unterteilung beträgt:
h = (b - a) / n
Auf diese Weise wird im Intervall [a, b] die Partition erstellt:
X0, X1, X2, ..., Xn-1, Xn
Wobei X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, ..., Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
Die Formel, mit der das bestimmte Integral I der stetigen und vorzugsweise glatten Funktion für das Intervall [a, b] näherungsweise berechnet werden kann, lautet:
Um die Simpson-Formel zu erhalten, wird in jedem Teilintervall [Xi, Xi + 2] die Funktion f (X) durch ein Polynom zweiten Grades p (X) (Parabel) approximiert, das durch die drei Punkte verläuft: [Xi, f (Xi)] ;; [Xi + 1, f (Xi + 1)] und [Xi + 2, f (Xi + 2)].
Dann berechnen wir das Integral des Polynoms p (x) in [Xi, Xi + 2], das sich dem Integral der Funktion f (X) in diesem Intervall annähert.
Die Gleichung der Parabel p (X) hat die allgemeine Form: p (X) = A X.zwei + B X + C. Wenn die Parabel die rot angezeigten Punkte Q durchläuft (siehe Abbildung), werden die Koeffizienten A, B, C aus dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:
A (-h)zwei - Bh + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h)zwei + Bh + C = f (Xi + 2)
Es ist ersichtlich, dass der Koeffizient C bestimmt wird. Um den Koeffizienten A zu bestimmen, addieren wir die erste und dritte Gleichung, wobei wir erhalten:
2 A hzwei + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Dann wird der Wert von C ersetzt und A wird gelöscht, wobei Folgendes übrig bleibt:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 hzwei)
Um den Koeffizienten B zu bestimmen, wird die dritte Gleichung von der ersten subtrahiert und B wird gelöst, wobei erhalten wird:
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h.
Zusammenfassend hat das Polynom zweiten Grades p (X), das durch die Punkte Qi, Qi + 1 und Qi + 2 verläuft, Koeffizienten:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 hzwei)
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h
C = f (Xi + 1)
Wie bereits erwähnt, wird im Gesamtintegrationsintervall [a, b] eine Partition X0, X1, X2, ..., Xn-1, Xn mit Schritt h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n erstellt , wobei n eine gerade Zahl ist.
Beachten Sie, dass der Fehler mit der vierten Potenz der Anzahl der Unterteilungen im Intervall abnimmt. Wenn Sie beispielsweise von n Unterteilungen zu 2n wechseln, verringert sich der Fehler um den Faktor 1/16.
Die Obergrenze des durch die Simpson-Näherung erhaltenen Fehlers kann aus derselben Formel erhalten werden, wobei der maximale Absolutwert der vierten Ableitung im Intervall [a, b] durch die vierte Ableitung ersetzt wird..
Betrachten Sie die Funktion als die Funktion f (X) = 1 / (1 + X.zwei).
Finden Sie das bestimmte Integral der Funktion f (X) im Intervall [-1, 1] nach der Simpson-Methode mit zwei Unterteilungen (n = 2)..
Wir nehmen n = 2. Die Integrationsgrenzen sind a = -1 und b = -2, also sieht die Partition folgendermaßen aus:
X0 = -1; X1 = 0 und X2 = +1.
Daher hat die Simpson-Formel die folgende Form:
Mit n = 2 → xo = -1 ist x1 = 0; x2 = 1, daher:
Betrachten Sie die Funktion f (X) = 1 / (1 + X.zwei).
Finden Sie das bestimmte Integral der Funktion f (X) im Intervall [-1, 1] mit der Simpson-Formel mit vier Unterteilungen (n = 4)..
Wir nehmen n = 4. Die Integrationsgrenzen sind a = -1 und b = -2, also sieht die Partition folgendermaßen aus:
X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 und X4 = +1.
Simpsons Formel lautet wie folgt:
Integral ≃ [(b - a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]
Für den Fall, in dem es angewendet wird, ist es wie folgt:
Integral ≃ (1 - (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)
Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666
Bestimmen Sie das definitive Integral der vorherigen Beispiele genau und vergleichen Sie das genaue Ergebnis mit denen, die mit der Simpson-Formel in den Beispielen 1a und 1b erhalten wurden.
Das unbestimmte Integral der Funktion f (X) = 1 / (1 + X.zwei) ist die Funktion Arctan (X).
Bei der Bewertung an den Grenzen der Integration bleibt Folgendes:
Integral = Arctan (1) - Arctan (-1) = π / 4 - (-π / 4) = π / 2 = 1,5708
Wenn wir das Ergebnis der exakten Lösung mit dem nach Simpsons Methode erhaltenen mit n = 2 und n = 4 vergleichen, haben wir:
Für n = 2 beträgt die Differenz zwischen der exakten und der ungefähren Lösung π / 2 - 5/3 = -0,0959, dh eine prozentuale Differenz von -0,06%.
Und für die Simpson-Näherung mit n = 4 beträgt die Differenz zwischen der exakten und der ungefähren Lösung π / 2 - 47/30 = 0,0041, dh eine prozentuale Differenz von 0,003%.
Die Simpson-Methode eignet sich zur Anwendung in Programmiersprachen und in Computeranwendungen für mathematische Berechnungen. Es wird empfohlen, dass der Leser basierend auf den in diesem Artikel angegebenen Formeln seinen eigenen Code in sein Lieblingsprogramm schreibt.
Die folgende Abbildung zeigt eine Übung, in der die Simpson-Formel implementiert wurde Smath Studio, Freie Software für Betriebssysteme verfügbar Windows Y. Android.
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