Das Arten von Integralen dass wir im Kalkül die unbestimmten Integrale und die bestimmten Integrale finden. Obwohl bestimmte Integrale viel mehr Anwendungen haben als unbestimmte Integrale, muss zunächst gelernt werden, wie unbestimmte Integrale gelöst werden..
Eine der attraktivsten Anwendungen bestimmter Integrale ist die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers. Beide Arten von Integralen haben die gleichen Linearitätseigenschaften und auch die Integrationstechniken hängen nicht von der Art des Integrals ab.
Aber obwohl es sehr ähnlich ist, gibt es einen Hauptunterschied; Beim ersten Integraltyp ist das Ergebnis eine Funktion (die nicht spezifisch ist), während beim zweiten Typ das Ergebnis eine Zahl ist.
Die Welt der Integrale ist sehr breit, aber darin können wir zwei Grundtypen von Integralen unterscheiden, die im täglichen Leben eine große Anwendbarkeit haben..
Wenn F '(x) = f (x) für alle x in der Domäne von f ist, sagen wir, dass F (x) ein Antiderivativ, ein Primitiv oder ein Integral von f (x) ist..
Nehmen wir andererseits an, dass (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), was impliziert, dass das Integral einer Funktion nicht eindeutig ist, da dem Konstante C erhalten wir verschiedene Antiderivative.
Aus diesem Grund heißt F (x) + C das unbestimmte Integral von f (x) und C heißt die Integrationskonstante und wir schreiben es wie folgt
Wie wir sehen können, ist das unbestimmte Integral der Funktion f (x) eine Familie von Funktionen.
Wenn Sie beispielsweise das unbestimmte Integral der Funktion f (x) = 3x² berechnen möchten, müssen Sie zuerst ein Antiderivativ von f (x) finden..
Es ist leicht zu erkennen, dass F (x) = x³ ein Antiderivativ ist, da F '(x) = 3x². Daraus kann geschlossen werden, dass
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C..
Sei y = f (x) eine reelle, stetige Funktion in einem geschlossenen Intervall [a, b] und sei F (x) ein Antiderivativ von f (x). Das bestimmte Integral von f (x) zwischen den Grenzen a und b wird als Zahl F (b) -F (a) bezeichnet und wie folgt bezeichnet
Die oben gezeigte Formel ist besser bekannt als "The Fundamental Theorem of Calculus". Hier wird "a" als Untergrenze und "b" als Obergrenze bezeichnet. Wie Sie sehen können, ist das bestimmte Integral einer Funktion eine Zahl.
In diesem Fall erhalten wir eine Zahl, wenn wir das bestimmte Integral von f (x) = 3x² im Intervall [0,3] berechnen.
Um diese Zahl zu bestimmen, wählen wir F (x) = x³ als Antiderivativ von f (x) = 3x². Dann berechnen wir F (3) -F (0), was das Ergebnis 27-0 = 27 ergibt. Zusammenfassend ist das bestimmte Integral von f (x) im Intervall [0,3] 27.
Es kann angemerkt werden, dass, wenn G (x) = x³ + 3 gewählt wird, G (x) ein Antiderivativ von f (x) ist, das sich von F (x) unterscheidet, aber dies hat keinen Einfluss auf das Ergebnis, da G (3) - G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Aus diesem Grund erscheint in den bestimmten Integralen die Integrationskonstante nicht.
Eine der nützlichsten Anwendungen dieser Art von Integral besteht darin, dass die Fläche (das Volumen) einer ebenen Figur (eines Rotationskörpers) berechnet werden kann, wobei geeignete Funktionen und Integrationsgrenzen (und eine Rotationsachse) festgelegt werden..
Innerhalb der definierten Integrale finden wir verschiedene Erweiterungen davon, wie z. B. Linienintegrale, Oberflächenintegrale, falsche Integrale und mehrere Integrale, die alle sehr nützliche Anwendungen in Wissenschaft und Technik haben..
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