Das freundliche oder freundliche Zahlen sind zwei natürliche Zahlen a und b, deren Summe der Teiler eines von ihnen (ohne die Zahl) gleich der anderen Zahl ist, und die Summe der Teiler dieses anderen (auch ohne sie) nicht gleich der ersten Zahl ist.
Es wurden viele Zahlenpaare gefunden, die diese merkwürdige Eigenschaft teilen. Es sind nicht zu kleine Zahlen, die kleinsten sind 220 und 284, die vor einigen Jahrhunderten entdeckt wurden. Nehmen wir sie als Beispiel dafür, was diese besondere Freundschaft zwischen Zahlen bedeutet..
Die Teiler von 220, ohne 220, sind: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110. Die Teiler von 284, ohne 284, sind ihrerseits: 1, 2 4, 71 und 142.
Jetzt fügen wir die Teiler der ersten Zahl hinzu, die 220 ist:
D.1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Wir beobachten, dass die Summe tatsächlich 284 ist, die freundliche Zahl.
Dann werden die Teiler von 284 hinzugefügt:
D.zwei = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Und du bekommst das erste Mitglied des Paares.
Den antiken griechischen Mathematikern der pythagoreischen Schule, die von Pythagoras (569-475 v. Chr.), Dem Autor des berühmten gleichnamigen Theorems, gegründet wurden, gelang es, diese eigentümliche Beziehung zwischen diesen beiden Zahlen zu entdecken, der sie viele mystische Eigenschaften zuschrieben.
Sie waren auch den islamischen Mathematikern des Mittelalters bekannt, denen es gelang, eine allgemeine Formel zu bestimmen, um um das Jahr 850 n. Chr. Freundliche Zahlen zu finden.
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Der islamische Mathematiker Thabit Ibn Qurra (826-901) hat einen Weg gefunden, einige freundliche Zahlen zu generieren. Sean p, Was Y. r drei Primzahlen, dh Zahlen, die nur 1 und sich selbst als Teiler zulassen.
Wenn Folgendes erfüllt ist:
p = 3,2n-1 - 1
q = 3,2n - 1
r = 9,22n-1 - 1
Mit n eine Zahl größer als 1, dann:
a = 2npq und b = 2nr
Sie bilden ein Paar freundliche Zahlen. Lassen Sie uns die Formel für n = 2 testen und sehen, welches Paar freundlicher Zahlen generiert wird:
p = 3,22-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5
q = 3,2zwei - 1 = 11
r = 9,22.2-1 - 1 = 71
Dann:
a = 2npq = 2zwei. 5. 11 = 220
b = 2nr = 2zwei. 71 = 284
Die Formel des mittelalterlichen Mathematikers gilt für n = 2, da dies genau die ersten befreundeten Zahlen sind, über die zu Beginn gesprochen wurde und die bereits im Mittelalter bekannt waren..
Der Satz funktioniert jedoch nicht für alle bisher gefundenen befreundeten Zahlen, sondern nur für n = 2, n = 4 und n = 7.
Jahrhunderte später leitete der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) eine neue Regel für die Suche nach befreundeten Zahlen ab, die auf der von Thabit Ibn Qurra basiert:
p = (2n-m + 1). zweim - 1
q = (2n-m + 1). zwein - 1
r = (2n-m + 1)zwei. zweim + n - 1
Wie immer sind die Zahlen p, q und r Primzahlen, aber jetzt gibt es zwei ganzzahlige Exponenten: m und n, von denen m die folgende Bedingung erfüllen muss:
1 ≤ m ≤ n-1
Das Paar freundlicher Zahlen wird auf die gleiche Weise gebildet:
a = 2npq
b = 2nr
Wenn m = n-1 ist, wird der Thabit-Satz erneut erhalten, aber wie beim Satz des islamischen Mathematikers erfüllen nicht alle freundlichen Zahlen die Euler-Regel. Damit nahm jedoch die Anzahl der bis dahin bekannten befreundeten Zahlen zu..
Hier sind die ersten Exponentenpaare (m, n), mit denen Sie einige freundliche Zahlen finden können:
(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) und (29,40)
Später im Übungsabschnitt finden wir das Paar freundlicher Zahlen, das dank der Exponenten (3,4) der Euler-Regel gebildet wird.
-220 und 284
-1184 und 1210
-2620 und 2924
-5020 und 5564
-6232 und 6368
-10.744 und 10.856
-12.285 und 14.595
-17.296 und 18.416
Natürlich können Sie mit dem Computer viel mehr Paare freundlicher Zahlen generieren.
Wir werden jetzt sehen, wie man die Teiler einer Zahl findet, um zu überprüfen, ob sie Freunde sind. Gemäß der Definition der befreundeten Zahlen müssen alle Teiler jedes Teilnehmers mit Ausnahme der Zahlen selbst hinzugefügt werden können.
Jetzt können natürliche Zahlen in zwei Gruppen unterteilt werden: Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen..
Primzahlen lassen nur 1 und sich selbst als exakte Teiler zu. Und die zusammengesetzten Zahlen ihrerseits können immer als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden und haben außer 1 und sich selbst andere Teiler..
Jede zusammengesetzte Zahl N, wie z. B. 220 oder 284, kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
N = an . bm. cp... rk
Wobei a, b, c… r Primzahlen sind und n, m, p… k Exponenten sind, die zu den natürlichen Zahlen gehören, die ab 1 sein können.
In Bezug auf diese Exponenten gibt es eine Formel, um zu wissen, wie viele (aber nicht welche) Teiler die Zahl N hat. Sei C diese Größe:
C = (n + 1) (m + 1) (p + 1)… (k + 1)
Sobald die Zahl N als Produkte von Primzahlen ausgedrückt ist und bekannt ist, wie viele Teiler sie hat, haben wir bereits die Werkzeuge, um zu wissen, was ihre Teiler sind, sowohl Primzahlen als auch Nicht-Primzahlen. Und es ist so, dass Sie sie alle kennen müssen, um zu überprüfen, ob sie Freunde sind, mit Ausnahme der letzten, bei der es sich um die Nummer selbst handelt.
Finde alle Teiler des Paares der befreundeten Zahlen 220 und 284.
Lassen Sie uns zuerst die Primteiler von 220 finden, die eine zusammengesetzte Zahl sind:
220 │2
110 │2
55 │5
11-11
1 │
Die Primfaktorisierung von 220 ist:
220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2zwei.5. 11
Daher ist n = 2, m = 1, p = 1 und hat:
C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 Teiler
Die ersten Teiler, die beim Zerlegen der Zahl bemerkt werden, sind: 1, zwei, 4, 5 Y. elf. Und das sind sie auch 110 Y. 55.
Ihnen würden 5 von ihnen fehlen, die Produkte zwischen den Cousins und ihren Kombinationen herstellen: 2zwei.5 = zwanzig; zweizwei.11 = 44;; 2. 11 = 22 und schließlich die 1 und seine eigene 220.
Für 284 wird ein analoges Verfahren angewendet:
284 │2
142 │2
71-71
1 │
284 = 2zwei. 71
C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 Teiler
Diese Teiler sind: 1, 2, 4, 71, 142 und 284, wie zu Beginn gesagt.
Wenn Sie die Euler-Formel auf n = 4 und m = 3 überprüfen, wird das Tripel der Primzahlen (p, q, r) = (23,47, 1151) erzeugt. Was ist das Paar von freundlichen Zahlen mit ihnen gebildet?
Die Primzahlen p, q und r werden berechnet durch:
p = (2n-m + 1). zweim - 1
q = (2n-m + 1). zwein - 1
r = (2n-m + 1)zwei. zweim + n - 1
Wenn wir die Werte von m = 3 und n = 4 einsetzen, erhalten wir:
p = (24-3 + 1). zwei3 - 1 = 23
q = (24-3 + 1). zwei4 - 1 = 47
r = (24-3 + 1)zwei. zwei4 + 3 - 1 = 1151
Nun wenden wir die Formel an, um das Paar freundlicher Zahlen a und b zu finden:
a = 2npq
b = 2nr
a = 2npq = 16. 23. 47 = 17.296
b = 2nr = 16. 1151 = 18.416
Und tatsächlich gehören sie zu den ersten Paaren freundlicher Zahlen, die wir zuvor gezeigt haben.
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