Das Biot-Savart-Gesetz stellt eine Beziehung zwischen dem Magnetfeld d herB. an einem Punkt P, erzeugt durch einen dünnen Draht, der einen Strom I führt und dessen Differenzlänge d ists. Dieses Gesetz wird verwendet, um das Magnetfeld von Stromverteilungen mittels der zu finden Prinzip der Superposition.
Dies bedeutet, dass wir zur Berechnung des gesamten Magnetfelds am Punkt P alle Beiträge jedes Differentialteils d addieren müssens des Drahtes trägt bei. Und diese Summe erfolgt durch ein Integral, das über die gesamte Stromverteilung ausgeführt wird.
Auf diese Weise kann das Feld berechnet werden, das von stromführenden Drähten unterschiedlicher Geometrie erzeugt wird..
Das Biot-Savart-Gesetz ist nach den beiden französischen Physikern benannt, die es 1820 entdeckten: Jean Marie Biot (1774-1862) und Felix Savart (1791-1841). Um dies zu erreichen, mussten sie die Intensität und Form des Magnetfelds untersuchen, das durch zahlreiche Stromverteilungen erzeugt wird..
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Der mathematische Ausdruck des Biot-Savart-Gesetzes lautet wie folgt:
Es behält Analogien zu seinem Äquivalent bei, um das elektrische Feld zu berechnen: Coulombsches Gesetz, nur dass das Magnetfeld dB. in P ist aufrecht zu der Ebene, in der sich der Draht befindet. Wir können dies in Abbildung 1 sehen.
Der obige Ausdruck kann auch wie folgt geschrieben werden:
In beiden Ausdrücken, r ist der Positionsvektor, der vom aktuellen Element Id gerichtet ists bis zu dem Punkt, an dem Sie das Feld berechnen möchten.
Für seinen Teil, r mit einem Caret ist der Einheitsvektor, der in die gleiche Richtung und Richtung gerichtet ist, aber mit einem Modul gleich 1. Der Vektor r wird so dargestellt:
Zusätzlich zu den genannten Vektoren enthält die Formel die Konstante μoder, Anruf Vakuumpermeabilität und dessen Wert ist:
μoder = 4π x 10-7 T.m / A..
Wenn wir den Magnetfeldvektor berechnen möchten, müssen wir ihn über die gesamte Stromverteilung integrieren, für die wir Daten über seine Geometrie benötigen:
Das Biot-Savart-Gesetz beinhaltet ein Vektorprodukt zwischen den Vektoren Ids Y. r. Das Ergebnis eines Vektorprodukts zwischen zwei Vektoren ist ebenfalls ein Vektor.
In diesem Fall ist das Modul der Vektorprodukt-IDs x r ist: (Ids) ⋅r⋅senθ, wobei θ der Winkel zwischen Id ists Y. r, wie in Abbildung 1 gezeigt.
Auf diese Weise wird die Größe des Feldes dB. ist gegeben durch:
Richtung und Richtung können mit der in dieser Abbildung dargestellten rechten Regel bestimmt werden:
Wir fordern den Leser auf, seine rechte Hand gemäß den Vektoren in den Abbildungen 1 und 2 zu positionieren. Bei Abbildung 1 sollte der Zeigefinger nach Id nach links zeigens oder Idl, Der Mittelfinger zeigt nach dem Vektor r einheitlich.
Und schließlich ist der Daumen nach oben gerichtet und dies ist die Richtung des Magnetfeldes.
Das Biot-Savart-Gesetz ist äußerst experimenteller Natur, was bedeutet, dass seine Formulierung aus vielen Beobachtungen über das Verhalten des von Stromdrähten erzeugten Magnetfelds stammt..
Dies waren die Beobachtungen französischer Wissenschaftler über das Magnetfeld dB.::
-Die Größe von dB. ist umgekehrt proportional zu rzwei.
-Es ist auch direkt proportional zur Größe des aktuellen Elements, das als Id bezeichnet wirds und auch zu sin & thgr;, wobei & thgr; der Winkel zwischen den Vektoren d ists Y. r.
-dB. ist senkrecht zu beiden Ids -die Richtung des Stroms in Bezug auf r.
-Die Richtung von dB. ist tangential zu einem Radiusumfang r zentriert auf dem Draht. Mit anderen Worten besteht das von einem Stromsegment erzeugte Feld B aus Kreisen, die konzentrisch zum Draht sind.
-Die Art, wie es sich dreht B. wird durch die Regel des rechten Daumens gegeben: Der rechte Daumen zeigt in Stromrichtung und die vier verbleibenden Finger werden nach der Zirkulation des Feldes um den Draht gewickelt.
Alle diese Beobachtungen sind im mathematischen Ausdruck des zuvor beschriebenen Gesetzes zusammengefasst.
Wenn die Stromverteilung eine hohe Symmetrie aufweist, kann das Integral leicht gelöst werden. Sehen wir uns einige Fälle an:
Ein geradliniger Draht der Länge L führt einen Strom I, wie in der Figur gezeigt.
Es zeigt die Geometrie, die zur Berechnung des Feldes erforderlich ist. Dies ist senkrecht zum Blatt Papier, das aus der Ebene herausragt, wenn der Strom von links nach rechts fließt, und anderweitig eintritt (mit der rechten Regel prüfen)..
Sein k Der Einheitsvektor in der Richtung senkrecht zur Ebene ist nach Durchführung des Integrationsprozesses das Magnetfeld, das der Draht bei P erzeugt:
Die kreisförmige Schleife des Radius zu führt einen Strom wie in der Figur gezeigt und erzeugt ein Magnetfeld dB. -in dunkelgrün - am Punkt P auf der axialen Achse in einiger Entfernung x von der Mitte.
Ein anderes Stromelement, das sich auf der gegenüberliegenden Seite befindet, würde einen weiteren Beitrag zum Feld d leistenB. (hellgrün), so dass seine vertikale Komponente mit der ersten abbricht.
Das Ergebnis ist, dass das Nettomagnetfeld horizontal ist und sich daher nur in diese Komponenten integriert, was zu Folgendem führt:
Sie haben einen extrem langen Draht, der einen Strom von 2A führt, wie in der Abbildung gezeigt. Berechnen Sie die Stärke des Magnetfelds in einem radialen Abstand von 5 cm vom Draht.
Da es sich um einen sehr langen Draht handelt, können wir den Ausdruck für das geradlinige Segment nehmen und θ machen1= 0º und θzwei = 180º für die Grenzwinkel. Dies reicht aus, damit die Länge des Drahtes gegen unendlich tendiert..
Auf diese Weise haben wir das Feld:
Jetzt ersetzen wir die Werte der Anweisung:
I = 2 A.
r = 5 x 10-zwei m
μoder= 4π x 10-7 T.m / A.
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