Das logarithmische Funktion ist eine mathematische Beziehung, die jede positive reelle Zahl assoziiert x mit seinem Logarithmus Y. auf einer Basis zu. Diese Beziehung erfüllt die Anforderungen, um eine Funktion zu sein: Jedes zur Domäne gehörende Element x hat ein eindeutiges Bild.
Deshalb:
f (x) = y = logzu x , mit a> 0 und verschieden von 1.
Die Haupteigenschaften der logarithmischen Funktion sind:
-Seine Domäne ist alle reellen größer als 0, ohne 0. Mit anderen Worten, es gibt keinen Logarithmus von 0 oder negative Zahlen in irgendeiner Basis. In Intervallform:
Sonne F. = (0, ∞ +)
-Der Logarithmus einer Zahl kann negativ, positiv oder 0 sein, daher ist ihr Bereich oder Bereich:
Rgo F. = (-∞, ∞ +)
-Die logarithmische Funktion nimmt für a> 1 immer zu und für a ab<1.
-Die Umkehrung von f (x) = logzu x ist die Exponentialfunktion.
In der Tat ist die Logarithmusfunktion, auf der basiert, die Umkehrfunktion der potentiellen Funktion:
F.-1(x) = aY.
Da der Logarithmus in der Basis zu einer Zahl x, Es ist die Nummer Y. zu dem die Basis angehoben werden soll zu zu bekommen x.
-Der Logarithmus der Basis ist immer 1. Somit ist der Graph von f (x) = logzu x schneidet immer die x-Achse am Punkt (1,0)
-Die logarithmische Funktion ist transzendent und es kann nicht als Polynom oder als Quotient davon ausgedrückt werden. Neben dem Logarithmus umfasst diese Gruppe unter anderem die trigonometrischen und exponentiellen Funktionen.
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Die logarithmische Funktion kann durch verschiedene Basen festgelegt werden, die am häufigsten verwendeten sind jedoch 10 und und, wo und ist die Eulernummer gleich 2.71828 ... .
Wenn die Basis 10 verwendet wird, wird der Logarithmus als Dezimallogarithmus, vulgärer Logarithmus, Briggs oder einfach nur Logarithmus bezeichnet.
Und wenn die Zahl e verwendet wird, wird sie von John Napier, dem schottischen Mathematiker, der Logarithmen entdeckt hat, als natürlicher Logarithmus bezeichnet..
Die für jeden verwendete Notation lautet wie folgt:
-Dezimaler Logarithmus: log10 x = log x
-Natürlicher Logarithmus: ln x
Wenn eine andere Basis verwendet werden soll, muss diese unbedingt als Index angegeben werden, da der Logarithmus jeder Zahl je nach zu verwendender Basis unterschiedlich ist. Wenn es sich beispielsweise um Logarithmen in Basis 2 handelt, schreiben Sie:
y = logzwei x
Schauen wir uns den Logarithmus der Zahl 10 in drei verschiedenen Basen an, um diesen Punkt zu veranschaulichen:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
Logzwei 10 = 3,32193
Gängige Taschenrechner bringen nur Dezimallogarithmen (Log-Funktion) und natürlichen Logarithmus (In-Funktion). Im Internet gibt es Taschenrechner mit anderen Grundlagen. In jedem Fall kann der Leser mit seiner Hilfe überprüfen, ob die obigen Werte wahr sind:
101 = 10
und2,3026 = 10.0001
zwei3.32193 = 10.0000
Kleine Dezimalunterschiede sind auf die Anzahl der Dezimalstellen zurückzuführen, die bei der Berechnung des Logarithmus verwendet wurden.
Zu den Vorteilen der Verwendung von Logarithmen gehört die einfache Arbeit mit großen Zahlen, bei der der Logarithmus anstelle der Zahl direkt verwendet wird.
Dies ist möglich, weil die Logarithmusfunktion langsamer wächst, wenn die Zahlen größer werden, wie wir in der Grafik sehen können.
Selbst bei sehr großen Zahlen sind ihre Logarithmen viel kleiner, und die Bearbeitung kleiner Zahlen ist immer einfacher..
Darüber hinaus haben Logarithmen die folgenden Eigenschaften:
-Produkt: log (a.b) = log a + log b
-Quotient: log (a / b) = log a - log b
-Leistung: log ab = b.log a
Auf diese Weise werden die Produkte und Quotienten zu Additionen und Subtraktionen kleinerer Zahlen, während die Potenzierung zu einem einfachen Produkt wird, obwohl die Leistung hoch ist..
Aus diesem Grund können wir mit Logarithmen Zahlen ausdrücken, die in sehr großen Wertebereichen variieren, wie z. B. der Schallintensität, dem pH-Wert einer Lösung, der Helligkeit von Sternen, dem elektrischen Widerstand und der Intensität von Erdbeben auf der Richterskala..
Sehen wir uns ein Beispiel für die Behandlung der Eigenschaften von Logarithmen an:
Suchen Sie den Wert von x im folgenden Ausdruck:
log (5x + 1) = 1 + log (2x-1)
Wir haben hier eine logarithmische Gleichung, da das Unbekannte im Argument des Logarithmus steht. Es wird gelöst, indem auf jeder Seite der Gleichheit ein einziger Logarithmus belassen wird.
Wir beginnen damit, alle Begriffe, die "x" enthalten, links von der Gleichheit und diejenigen, die nur Zahlen enthalten, rechts zu platzieren:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Links haben wir die Subtraktion von zwei Logarithmen, die als Logarithmus eines Quotienten geschrieben werden können:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Auf der rechten Seite befindet sich jedoch die Nummer 1, die wir, wie wir zuvor gesehen haben, als log 10 ausdrücken können. Dann:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Damit die Gleichheit erfüllt wird, Argumente der Logarithmen müssen gleich sein:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
1957 ereignete sich in Mexiko ein Erdbeben mit einer Stärke von 7,7 auf der Richterskala. 1960 ereignete sich in Chile ein weiteres Erdbeben größeren Ausmaßes von 9,5.
Berechnen Sie, wie oft das Erdbeben in Chile stärker war als das in Mexiko, und wissen Sie, dass die Stärke M.R. auf der Richterskala ist es gegeben durch die Formel:
M.R. = log (104 ICH)
Die Stärke eines Erdbebens auf der Richterskala ist eine logarithmische Funktion. Wir werden die Intensität jedes Erdbebens berechnen, da wir die Richtergrößen haben. Machen wir es Schritt für Schritt:
-Mexiko: 7,7 = log (104 ICH)
Da die Umkehrung der Logarithmusfunktion das Exponential ist, wenden wir dies auf beide Seiten der Gleichheit an, um nach I zu lösen, was im Argument des Logarithmus zu finden ist.
Da es sich um dezimale Logarithmen handelt, ist die Basis 10. Dann:
10 7.7 = 104 ich
Die Intensität des Erdbebens in Mexiko war:
ichM. = 10 7.7 / 104 = 103.7
-Chili: 9,5 = log (104 ICH)
Das gleiche Verfahren führt uns zur Intensität des chilenischen Erdbebens I.CH::
ichCH = 10 9.5 / 104 = 105.5
Jetzt können wir beide Intensitäten vergleichen:
ichCH / ICHM. = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
ichCH = 63,1. ichM.
Das Erdbeben in Chile war etwa 63-mal so stark wie in Mexiko. Da die Größe logarithmisch ist, wächst sie langsamer als die Intensität. Eine Differenz von 1 in der Größe bedeutet also eine 10-mal größere Amplitude der seismischen Welle.
Der Unterschied zwischen den Größen beider Erdbeben beträgt 1,8, daher können wir einen Intensitätsunterschied erwarten, der näher bei 100 als bei 10 liegt, wie es tatsächlich passiert ist..
Wenn der Unterschied genau 2 gewesen wäre, wäre das chilenische Erdbeben 100-mal intensiver gewesen als das mexikanische..
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