Das relativer Fehler eines als & egr; bezeichneten Maßes ist definiert als der Quotient zwischen dem absoluten Fehler & Dgr;X. und die gemessene Menge X.. In mathematischen Begriffen bleibt es als εr = ΔX / X..
Es ist eine dimensionslose Größe, da der absolute Fehler die gleichen Dimensionen wie die Menge X hat. Er wird häufig in Prozent angegeben. In diesem Fall sprechen wir vom prozentualen relativen Fehler: εr% = (ΔX / X) . 100%
Das Wort "Fehler" im Kontext der Physik hat nicht unbedingt mit Fehlern zu tun, obwohl es natürlich möglich ist, dass sie auftreten, sondern mit dem Mangel an Sicherheit im Ergebnis einer Messung.
In der Wissenschaft stellen Messungen die Unterstützung jedes experimentellen Prozesses dar und müssen daher zuverlässig sein. Der experimentelle Fehler quantifiziert, wie zuverlässig eine Messung ist oder nicht.
Sein Wert hängt von verschiedenen Faktoren ab, wie der Art des verwendeten Instruments und seinem Zustand, ob eine geeignete Methode zur Durchführung der Messung verwendet wurde, der Definition des zu messenden Objekts (der Messgröße), ob Fehler in der Kalibrierung der Instrumente, die Fähigkeiten des Bedieners, die Wechselwirkung zwischen Messgröße und Messprozess sowie bestimmte externe Faktoren.
Diese Faktoren führen dazu, dass der gemessene Wert um einen bestimmten Betrag vom tatsächlichen Wert abweicht. Dieser Unterschied wird als Unsicherheit, Unsicherheit oder Fehler bezeichnet. Jede noch so einfache Maßnahme ist mit einer Unsicherheit verbunden, die natürlich immer zu verringern versucht.
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Um den relativen Fehler einer Kennzahl zu erhalten, müssen die betreffende Kennzahl und ihr absoluter Fehler bekannt sein. Der absolute Fehler ist definiert als der Modul der Differenz zwischen dem realen Wert einer Größe und dem gemessenen Wert:
ΔX = | X.Real - X.gemessen|
Auf diese Weise gibt es, auch wenn der reale Wert nicht bekannt ist, einen Wertebereich, in dem er bekanntermaßen gefunden wird: X.gemessen - Δx ≤ X real ≤ X.gemessen + Δx
ΔX berücksichtigt alle möglichen Fehlerquellen, von denen jede wiederum eine Bewertung haben muss, die der Experimentator unter Berücksichtigung des möglichen Einflusses zuweist..
Mögliche Fehlerquellen sind die Bewertung des Instruments, der Fehler bei der Messmethode und dergleichen..
Von all diesen Faktoren gibt es normalerweise einige, die der Experimentator nicht berücksichtigt, vorausgesetzt, die von ihnen verursachte Unsicherheit ist sehr gering..
Da die überwiegende Mehrheit der experimentellen Bestimmungen das Ablesen einer abgestuften oder digitalen Skala erfordert, ist der Bewertungsfehler des Instruments einer der Faktoren, die bei der Angabe des absoluten Messfehlers berücksichtigt werden müssen..
Die Wertschätzung des Instruments ist die kleinste Teilung seiner Skala; Beispielsweise beträgt die Bewertung eines Millimeterlineals 1 mm. Wenn das Instrument digital ist, ist die Wertschätzung die kleinste Änderung, bei der die letzte Ziffer rechts auf dem Bildschirm angezeigt wird.
Je höher die Wertschätzung, desto geringer die Präzision des Instruments. Im Gegenteil, je geringer die Wertschätzung, desto genauer ist sie.
Sobald die Messung X durchgeführt wurde und der absolute Fehler & Dgr; X bekannt ist, nimmt der relative Fehler die am Anfang angegebene Form an: & egr;r = ΔX / X. oder εr% = (ΔX / X) . 100%.
Wenn zum Beispiel eine Längenmessung durchgeführt wurde, die den Wert von (25 ± 4) cm ergab, betrug der prozentuale relative Fehler & epsi;r% = (4/25) x 100% = 16%
Das Gute am relativen Fehler ist, dass Sie damit Messungen gleicher und unterschiedlicher Größe vergleichen und deren Qualität bestimmen können. Auf diese Weise ist bekannt, ob die Maßnahme akzeptabel ist oder nicht. Vergleichen wir die folgenden direkten Maßnahmen:
- Ein elektrischer Widerstand von (20 ± 2) Ohm.
- Andere (95 ± 5) Ohm.
Wir könnten versucht sein zu sagen, dass das erste Maß besser ist, da der absolute Fehler kleiner war, aber bevor wir uns entscheiden, vergleichen wir die relativen Fehler.
Im ersten Fall beträgt der prozentuale relative Fehler εr% = (2/20) x 100% = 10% und im zweiten war es εr% = (5/95) x 100% ≈ 5%, In diesem Fall betrachten wir dieses Maß höherer Qualität trotz eines größeren absoluten Fehlers.
Dies waren zwei veranschaulichende Beispiele. In einem Forschungslabor liegt der maximal zulässige prozentuale Fehler zwischen 1% und 5%..
In der Verpackung eines Holzstücks wird der Nennwert seiner Länge in 130,0 cm angegeben, aber wir wollen die wahre Länge sicherstellen und wenn wir es mit einem Maßband messen, erhalten wir 130,5 cm. Was ist der absolute Fehler und was ist der prozentuale relative Fehler dieser einzelnen Messung??
Nehmen wir an, dass der werkseitig angegebene Wert der wahre Wert der Länge ist. Das kann man nie wirklich wissen, da die Werksmessung auch eine eigene Unsicherheit hat. Unter dieser Annahme ist der absolute Fehler:
ΔX = | X.Real - X.gemessen| = | 130,0 - 130,5| cm = 0,5 cm.
Man beachte, dass ΔX. es ist immer positiv. Unser Maß ist dann:
Länge = 130,1 ± 0,5 cm
Und sein prozentualer relativer Fehler ist: undr% = (0,5 / 130,5) x 100% ≈ 0,4%. Nichts Schlechtes.
Die Maschine, die die Stangen in einem Unternehmen schneidet, ist nicht perfekt und ihre Teile sind nicht alle identisch. Wir müssen die Toleranz kennen, für die wir 10 Ihrer Balken mit einem Maßband messen und den Werkswert vergessen. Nach Messungen werden folgende Angaben in Zentimetern erhalten:
- 130.1.
- 129.9.
- 129,8.
- 130,4.
- 130,5.
- 129.7.
- 129.9.
- 129.6.
- 130,0.
- 130,3.
Was ist die Länge eines Balkens aus dieser Fabrik und seine jeweilige Toleranz?
Die Länge des Balkens wird ordnungsgemäß als Durchschnitt aller Messwerte geschätzt:
L.Hälfte = 130,02 cm ≤ 130,0 cm
Und jetzt der absolute Fehler: Da wir ein Maßband verwendet haben, dessen Wert 1 mm beträgt und bei dem angenommen wird, dass unser Sehvermögen gut genug ist, um die Hälfte von 1 mm zu unterscheiden, wird der Fehler bei der Bewertung auf 0,5 mm = 0,05 cm eingestellt.
Wenn Sie andere mögliche Fehlerquellen berücksichtigen möchten, die in den vorherigen Abschnitten erwähnt wurden, können Sie diese am besten anhand der Standardabweichung der durchgeführten Messungen bewerten, die mit den statistischen Funktionen eines wissenschaftlichen Rechners schnell ermittelt werden kann:
σn-1 = 0,3 cm
Der absolute Fehler ΔL. ist der Fehler der Bewertung des Instruments + die Standardabweichung der Daten:
ΔL = 0,3 + 0,05 cm = 0,35 cm ≤ 0,4 cm
Die Länge des Balkens ist endlich:
L. = 130,0 ± 0,4 cm
Der relative Fehler ist: εr% = (0,4 / 130,0) × 100% ≈ 0,3%.
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