Zufällige Fehlerformel und Gleichungen, Berechnung, Beispiele, Übungen

Das zufälliger Fehler einer physikalischen Größe besteht aus den unvorhersehbaren Variationen des Maßes dieser Größe. Diese Variationen können durch das zu messende Phänomen, durch das Messgerät oder durch den Beobachter selbst erzeugt werden..

Ein solcher Fehler ist nicht darauf zurückzuführen, dass während des Experiments etwas falsch gemacht wurde, sondern auf einen Fehler, der dem Messprozess oder dem untersuchten Phänomen inhärent ist. Dies führt dazu, dass die gemessene Größe manchmal etwas höher und manchmal etwas niedriger ist, aber sie schwingt normalerweise um einen zentralen Wert..

Im Gegensatz zu zufälligen Fehlern kann ein systematischer Fehler durch eine schlechte Kalibrierung oder einen unzureichenden Skalierungsfaktor im Messgerät, sogar einen Fehler in der Versuchsausrüstung oder eine unzureichende Beobachtung verursacht werden, die eine Abweichung in dieselbe Richtung verursacht..

Abbildung 1 zeigt den Unterschied zwischen systematischen und zufälligen Fehlern beim Werfen von Pfeilen auf ein Ziel mit Kreisen..

Im Fall von links sind die Pfeile um einen Punkt weit von der Mitte konzentriert. Der Werfer dieser Pfeile hat, obwohl er ein gutes Ziel hat, ein systematisches Versagen, möglicherweise visuellen Ursprungs oder beim Werfen.

Auf der anderen Seite hat der Launcher auf der rechten Seite (in Abbildung 1) eine große Streuung um das zentrale Ziel, daher ist es ein sehr ungenauer Launcher mit schlechtem Ziel, der unfreiwillig einen zufälligen Fehler begeht..

Artikelverzeichnis

• 1 Formeln und Gleichungen in zufälligen Fehlern
  • 1.1 Mittelwert und Standardabweichung
• 2 So berechnen Sie den Zufallsfehler?
• 3 Beispiele für zufällige Fehler
  • 3.1 Messen einer Länge mit einem Maßband oder Lineal
  • 3.2 Die Geschwindigkeit des Windes
  • 3.3 Beim Ablesen der Lautstärke an einem Messzylinder
  • 3.4 Beim Messen der Größe eines Kindes
  • 3.5 Bei Verwendung der Personenwaage
• 4 Übung gelöst
  • 4.1 Lösung
• 5 Referenzen

Formeln und Gleichungen in zufälligen Fehlern

Wenn während des Messvorgangs ein zufälliger Fehler beobachtet wird, muss die Messung mehrmals wiederholt werden, da aus statistischer Sicht der Fehler in der endgültigen Messschätzung umso kleiner ist, je größer die Anzahl der Messungen ist..

Natürlich muss bei jeder Messung darauf geachtet werden, dass die Bedingungen, unter denen sie durchgeführt werden, immer gleich sind.

Angenommen, die Messung wird wiederholt n mal. Da bei jeder Messung ein zufälliger Fehler auftritt, hat dieser einen geringfügig anderen Wert. Angenommen, die Menge von n Messungen ist:

x₁, x_zwei, x₃,..., x_n

Welchen Wert soll also für die Maßnahme gemeldet werden?? 

Durchschnittswert und Standardabweichung

Das mittlerer Wert oder durchschnittlich der Reihe von Maßnahmen, die wir mit bezeichnen und wird wie folgt berechnet:

= (x₁ + x_zwei + x₃ +… + X._n) / n

Standardabweichung

Dieses Ergebnis weist jedoch eine Fehlerquote auf, die durch die Standardabweichung gegeben ist. Um es zu definieren, müssen Sie zuerst die Abweichung und dann die Varianz kennen:

-Abweichung d_ich  was jeder gemessene Wert hat xi in Bezug auf den Durchschnittswert es ist:

d_ich = x_ich -

Wenn der Durchschnitt der Abweichungen berechnet würde, würde er systematisch erhalten = 0, wie: 

= (d₁ + d_zwei + d₃ +… + D._n) / n =

= [(x₁ - ) + (x_zwei - ) +… + (X._n - )] / n

= (x₁+ x_zwei +… + X._n) / n - n / n = - = 0

-Der Durchschnitt der Abweichungen ist nicht nützlich, um die Streuung der Maßnahmen zu kennen. Andererseits ist der Durchschnittswert des Quadrats der Abweichungen oder Varianzen, bezeichnet mit σ^zwei, wenn es so ist.

Es wird nach folgender Formel berechnet:

σ^zwei = (d₁^zwei + d_zwei^zwei +…. + D._n^zwei ) / (n -1)

In der Statistik wird diese Menge genannt Varianz.  

Und die Quadratwurzel der Varianz ist bekannt als Standardabweichung σ::

σ = √ [(d₁^zwei + d_zwei^zwei +…. + D._n^zwei ) / (n -1)] 

Die Standardabweichung σ sagt uns, dass:

1.- 68% der durchgeführten Messungen fallen in das Intervall [ - σ , + σ]. 

2.- 95% der Messungen liegen im Intervall [ - 2σ , + 2σ].

3.- 99,7% der durchgeführten Messungen liegen im Bereich [ - 3σ , + 3σ].

Wie berechnet man den zufälligen Fehler??

Das Messergebnis ist das mittlerer Wert des n Messungen bezeichnet mit und wird nach folgender Formel berechnet:

= (∑x_ich) / n

jedoch Es ist nicht der „genaue“ Wert der Messung, da wird beeinflusst von zufälliger Fehler ε, was so berechnet wird:

ε = σ / √n

Wo:

σ = √ [(∑ (xi - )^zwei ) / (n -1)]

Das Endergebnis der Messung muss auf eine der folgenden Arten gemeldet werden:

1. ± σ / √n = ± ε mit einem Konfidenzniveau von 68%..
2. ± 2σ / √n = ± 2ε mit einem Konfidenzniveau von 95%.
3. ± 3σ / √n = ± 3ε mit einem Konfidenzniveau von 99,7%.

Der zufällige Fehler wirkt sich auf die letzte signifikante Zahl der Messung aus, die im Allgemeinen mit der Bewertung des Messinstruments zusammenfällt. Wenn der Zufallsfehler jedoch sehr groß ist, können die letzten beiden signifikanten Stellen durch Variation beeinflusst werden..

Beispiele für zufällige Fehler

Zufällige Fehler können in verschiedenen Fällen auftreten, in denen eine Messung durchgeführt wird:

Messen einer Länge mit einem Maßband oder Lineal

Wenn eine Länge mit einem Lineal oder Maßband gemessen wird und die Messwerte zwischen den Markierungen auf der Skala liegen, wird dieser Zwischenwert geschätzt.

Manchmal weist die Schätzung einen Überschuss und manchmal einen Fehler auf, so dass ein zufälliger Fehler in den Messprozess eingeführt wird.

Die Geschwindigkeit des Windes

Bei der Messung der Windgeschwindigkeit kann es aufgrund der sich ändernden Natur des Phänomens zu Änderungen des Messwerts von einem Moment zum anderen kommen..

Beim Ablesen der Lautstärke an einem Messzylinder

Wenn das Volumen mit einem Messzylinder abgelesen wird und sogar versucht wird, den Parallaxenfehler bei jeder Messung zu minimieren, ändert sich der Beobachtungswinkel des Meniskus ein wenig, weshalb die Messungen durch zufällige Fehler beeinflusst werden.

Bei der Messung der Größe eines Kindes

Wenn Sie die Größe eines Kindes messen, insbesondere wenn es etwas unruhig ist, ändern kleine Haltungsänderungen geringfügig den Messwert.

Bei Verwendung der Personenwaage

Wenn wir unser Gewicht mit einer Personenwaage messen möchten, kann eine kleine Änderung des Drehpunkts oder sogar eine Änderung der Körperhaltung die Messung zufällig beeinflussen..

Übung gelöst

Ein Spielzeugkinderwagen darf eine gerade und geneigte Strecke hinunterrollen, und die Zeit, die für die gesamte Strecke benötigt wird, wird mit einer Stoppuhr gemessen. 

Die Messung wird elfmal durchgeführt, wobei darauf zu achten ist, dass der Wagen immer an derselben Stelle freigegeben wird, ohne dass ihm ein Impuls gegeben wird, und die Neigung festgehalten wird..

Die erzielten Ergebnisse sind:

3.12s 3.09s 3.04s 3.04s 3.10s 3.08s 3.05s 3.10s 3.11s 3.06s, 3.03s

Was ist der zufällige Fehler der Messungen?

Lösung

Wie Sie sehen können, sind die erzielten Ergebnisse nicht eindeutig und variieren geringfügig..

Als erstes wird der Durchschnittswert der Abstiegszeit berechnet, wobei 3,074545455 Sekunden erhalten werden.

Es ist nicht sinnvoll, so viele Dezimalstellen beizubehalten, da jede Messung drei signifikante Ziffern aufweist und die zweite Dezimalstelle jeder Messung ungewiss ist, da sie an der Grenze der Wertschätzung der Stoppuhr liegt. Daher wird das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen gerundet:

= 3,08 s.

Wenn sich der Rechner im statistischen Modus befindet, beträgt die Standardabweichung σ = 0,03 s und der Standardfehler ist σ / √11 = 0,01 s. Das Endergebnis wird folgendermaßen ausgedrückt:

Abstiegszeit 

3,08 s ± 0,01 s (mit einem Konfidenzniveau von 68%)

3,08 s ± 0,02 s (mit einem Konfidenzniveau von 95%)

3,08 s ± 0,03 s (mit einem Konfidenzniveau von 99,7%)

Verweise

1. Canavos, G. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. Mcgraw Hügel.
2. Devore, J. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8 .. Auflage. Engagieren.
3. Helmenstine A. Zufälliger Fehler vs. systematischer Fehler. Wiederhergestellt von :oughtco.com
4. Laredo, E. Fehler in den Medien. Wiederhergestellt von: usb.ve..
5. Levin, R. 1988. Statistik für Administratoren. 2 .. Auflage. Prentice Halle.