Zylinderkoordinatensystem, Änderung und Übungen

Das Zylinderkoordinaten Sie dienen zur Lokalisierung von Punkten im dreidimensionalen Raum und bestehen aus einer Radialkoordinate ρ, einer Azimutkoordinate φ und einer Höhenkoordinate z.

Ein Punkt P. im Raum gelegen wird orthogonal auf die Ebene projiziert XY Anlass geben P ' in dieser Ebene. Die Entfernung vom Ursprung zum Punkt P ' definiert die Koordinate ρ, während der Winkel von der Achse gebildet wird X. mit dem Strahl OP ' definiert die Koordinate φ. Zum Schluss die Koordinate z ist die orthogonale Projektion des Punktes P. auf der Achse Z.. (siehe Abbildung 1).

Die Radialkoordinate ρ ist immer positiv, die Azimutkoordinate φ variiert von null Radian bis zwei pi Radiant, während die z-Koordinate einen beliebigen reellen Wert annehmen kann:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ < z < + ∞

Artikelverzeichnis

• 1 Änderung der Koordinaten
  • 1.1 Vektorbasis in Zylinderkoordinaten
• 2 Beispiele
  • 2.1 Beispiel 1
  • 2.2 Beispiel 2
• 3 Gelöste Übungen
  • 3.1 Übung 1
  • 3.2 Übung 2
  • 3.3 Übung 3
  • 3.4 Übung 4
• 4 Referenzen

Änderung der Koordinaten

Es ist relativ einfach, die kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes P aus seinen Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) zu erhalten:

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Es ist aber auch möglich, die Polarkoordinaten (ρ, φ, z) ausgehend von der Kenntnis der kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes P zu erhalten:

ρ = √ (x^zwei + Y.^zwei)

φ = Arctan (y / x)

z = z

Vektorbasis in Zylinderkoordinaten

Die Basis der zylindrischen Einheitsvektoren ist definiert Uρ, Uφ, Uz.

Der Vektor Uρ tangiert die Linie φ = ctte und z = ctte (radial nach außen zeigend), den Vektor Uφ tangiert die Linie ρ = ctte und z = ctte und schließlich Uz hat die gleiche Richtung der Z-Achse.

In der zylindrischen Einheitsbasis der Positionsvektor r eines Punktes P ist vektoriell so geschrieben:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Andererseits ist eine infinitesimale Verschiebung dr ab Punkt P wird es wie folgt ausgedrückt:

dr = dρ Uρ + ρ dφ  Uφ + dz Uz

In ähnlicher Weise ist ein infinitesimales Element des Volumens dV in Zylinderkoordinaten:

dV = ρ dρ dφ dz

Beispiele

Es gibt unzählige Beispiele für die Verwendung und Anwendung von Zylinderkoordinaten. In der Kartographie zum Beispiel die zylindrische Projektion, basierend genau auf diesen Koordinaten. Es gibt weitere Beispiele:

Beispiel 1

Zylinderkoordinaten finden Anwendung in der Technologie. Als Beispiel haben wir das CHS-System (Cylinder-Head-Sector) zum Auffinden von Daten auf einer Festplatte, die tatsächlich aus mehreren Festplatten besteht:

- Der Zylinder oder die Spur entspricht der Koordinate ρ.

- Der Sektor entspricht der Position φ der Scheibe, die sich hoch dreht Winkelgeschwindigkeit.

- Der Kopf entspricht der z-Position des Lesekopfes auf der entsprechenden Platte.

Jedes Informationsbyte hat eine genaue Adresse in Zylinderkoordinaten (C, S, H)..

Beispiel 2

Baukrane fixieren die Position der Last in Zylinderkoordinaten. Die horizontale Position wird durch den Abstand zur Achse oder zum Pfeil des Krans ρ und durch seine Winkelposition φ in Bezug auf eine Referenzachse definiert. Die vertikale Position der Last wird durch die z-Koordinate der Höhe bestimmt.

Gelöste Übungen

Übung 1

Es gibt Punkte P1 mit Zylinderkoordinaten (3, 120º, -4) und Punkt P2 mit Zylinderkoordinaten (2, 90º, 5). Finden Sie die Euklidische Entfernung zwischen diesen beiden Punkten.

Lösung: Zuerst finden wir die kartesischen Koordinaten jedes Punktes gemäß der oben angegebenen Formel.

P1 = (3 · cos 120º, 3 · sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Der euklidische Abstand zwischen P1 und P2 beträgt:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))^zwei+(2 - 2,60)^zwei+(5 - (- 4))^zwei ) = ...

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Übung 2

Punkt P hat kartesische Koordinaten (-3, 4, 2). Finden Sie die entsprechenden Zylinderkoordinaten.

Lösung: Wir fahren fort, die Zylinderkoordinaten unter Verwendung der oben angegebenen Beziehungen zu finden:

ρ = √ (x^zwei + Y.^zwei) = √ ((- 3)^zwei + 4^zwei) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = Arctan (y / x) = Arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Es ist zu beachten, dass die Arkustangensfunktion mit einer Periodizität von 180 ° mehrwertig ist. Außerdem muss der Winkel φ zum zweiten Quadranten gehören, da die x- und y-Koordinaten des Punktes P in diesem Quadranten liegen. Dies ist der Grund, warum dem Ergebnis φ 180º hinzugefügt wurden.

Übung 3

Drücken Sie in Zylinderkoordinaten und in kartesischen Koordinaten die Oberfläche eines Zylinders mit Radius 2 aus, dessen Achse mit der Z-Achse übereinstimmt.

Lösung: Es versteht sich, dass der Zylinder eine unendliche Ausdehnung in der z-Richtung hat, so dass die Gleichung der Oberfläche in Zylinderkoordinaten lautet:

ρ = 2

Um die kartesische Gleichung der zylindrischen Oberfläche zu erhalten, wird das Quadrat beider Elemente der vorherigen Gleichung genommen:

ρ^zwei = 4

Wir multiplizieren beide Mitglieder der vorherigen Gleichheit mit 1 und wenden die an grundlegende trigonometrische Identität (sen^zwei(φ) + cos^zwei(φ) = 1):

1 * ρ^zwei = 1 * 4

(sen^zwei(φ) + cos^zwei(φ)) * ρ^zwei = 1 * 4

Die Klammer wird entwickelt, um Folgendes zu erhalten:

(ρ sin (φ))^zwei + (ρ cos (φ))^zwei = 4

Wir erinnern uns, dass die ersten Klammern (ρ sin (φ)) die y-Koordinate eines Punktes in Polarkoordinaten sind, während die Klammern (ρ cos (φ)) die x-Koordinate darstellen, so dass wir haben die Gleichung des Zylinders in kartesischen Koordinaten::

Y.^zwei + x^zwei = 2^zwei

Die vorherige Gleichung sollte nicht mit der eines Kreises in der XY-Ebene verwechselt werden, da sie in diesem Fall folgendermaßen aussehen würde: y^zwei + x^zwei = 2^zwei ;; z = 0.

Übung 4

Bei einem Zylinder mit einem Radius von R = 1 m und einer Höhe von H = 1 m ist die Masse gemäß der folgenden Gleichung D (ρ) = C (1 - ρ / R) radial verteilt, wobei C eine Konstante mit dem Wert C = 1 kg / m ist³. Finden Sie die Gesamtmasse des Zylinders in Kilogramm.

Lösung: Das erste ist zu erkennen, dass die Funktion D (ρ) die volumetrische Massendichte darstellt und dass die Massendichte in zylindrischen Schalen mit abnehmender Dichte vom Zentrum zur Peripherie verteilt ist. Ein infinitesimales Volumenelement gemäß der Symmetrie des Problems ist:

dV = ρ dρ 2π H.

Daher ist die infinitesimale Masse einer zylindrischen Schale:

dM = D (ρ) dV

Daher wird die Gesamtmasse des Zylinders wie folgt ausgedrückt definitives Integral::

M = ∫_oder^R. D (ρ) dV = ∫_oder^R. C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫_oder^R. (1 - ρ / R) ρ dρ

Die Lösung des angegebenen Integrals ist nicht schwer zu erhalten. Das Ergebnis ist:

∫_oder^R. (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R.^zwei

Wenn wir dieses Ergebnis in den Ausdruck der Masse des Zylinders einbeziehen, erhalten wir:

M = 2π H C (⅙) R.^zwei = ⅓ π H C R.^zwei =

 ⅓ π 1 m · 1 kg / m³* 1m^zwei = π / 3 kg ≤ 1,05 kg

Verweise

1. Arfken G und Weber H. (2012). Mathematische Methoden für Physiker. Eine umfassende Anleitung. 7. Auflage. Akademische Presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Berechnung cc. Gelöste Probleme mit Zylinder- und Kugelkoordinaten. Wiederhergestellt von: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Zylinderkoordinaten." Aus MathWorld-A Wolfram Web. Wiederhergestellt von: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Zylinderkoordinatensystem. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Vektorfelder in Zylinder- und Kugelkoordinaten. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com